Презентация "Прямоугольная система координат" по математике – проект, доклад

Прямоугольная система координат

Прямоугольной системой координат в пространстве называется тройка взаимно перпендикулярных координатных прямых с общим началом координат. Общее начало координат обозначается буквой O, а координатные прямые обозначаются Ox, Oy, Oz и называются соответственно осью абсцисс, осью ординат и осью аппликат . Плоскости, проходящие через пары координатных прямых, называются координатными плоскостями и обозначаются Oxy, Oxz и Oyz соответственно.

Координаты точки

Пусть A - произвольная точка пространства, в котором выбрана прямоугольная система координат. Через точку A проведем плоскость, перпендикулярную оси Ox, и точку ее пересечения с осью Ox обозначим Ax. Координата этой точки на оси Ox называется абсциссой точки A и обозначается x. Аналогично на осях Oy и Oz определяются точки Ay и Az, координаты которых называются соответственно ординатой и аппликатой точки A и обозначаются y и z соответственно. Тройка чисел (x, y, z) называется координатами точки A в пространстве.

Р. Декарт

Впервые прямоугольные координаты были введены Р. Декартом (1596-1650), поэтому прямоугольную систему координат называют также декартовой системой координат, а сами координаты – декартовыми координатами. Введение прямоугольных координат на плоскости позволило свести многие геометрические задачи к чисто алгебраическим и, наоборот, алгебраические задачи – к геометрическим. Метод, основанный на этом, называется методом координат.

Упражнение 1

Найдите координаты ортогональных проекций точек A(1, 3, 4) и B(5, -6, 2) на: а) плоскость Oxy; б) плоскость Oyz; в) ось Ox; г) ось Oz.

Ответ: а) (1, 3, 0), (5, -6, 0); б) (0, 3, 4), (0, -6, 2); в) (1, 0, 0), (5, 0, 0); г) (0, 0, 4), (0, 0, 2).

Упражнение 2

Что представляет собой геометрическое место точек пространства, для которых: а) первая координата равна нулю; б) вторая координата равна нулю; в) третья координата равна нулю; г) первая и вторая координаты равны нулю; д) первая и третья координаты равны нулю; е) вторая и третья координаты равны нулю; ж) все координаты равны нулю?

Ответ: а) Плоскость Oyz;

б) плоскость Oxz; в) плоскость Oxy; г) ось Oz; д) ось Oy; е) ось Ox;

ж) начало координат.

Упражнение 3

На каком расстоянии находится точка A(1, -2, 3) от координатной плоскости: а) Oxy; б) Oxz; в) Oyz?

Ответ: а) 3; б) 2; в) 1.

Упражнение 4

На каком расстоянии находится точка A(1, -2, 3) от координатной прямой: а) Ox; б) Oy; в) Oz?

Ответ: а) б) в)

Упражнение 5

Каким является геометрическое место точек пространства, для которых: а) первая координата равна единице; б) первая и вторая координаты равны единице?

Ответ: а) Плоскость, параллельная плоскости Oyz и проходящая через точку (1, 0, 0);

б) прямая, параллельная оси Oz и и проходящая через точку (1, 1, 0).

Упражнение 6

Какому условию удовлетворяют координаты точек пространства, одинаково удаленные от: а) двух координатных плоскостей Oxy, Oyz; б) всех трех координатных плоскостей?

Ответ: а) z=x; б) x=y=z.

Упражнение 7

Дан куб A...D1, ребро которого равно 1. Начало координат находится в точке B. Положительные лучи осей координат соответственно BA, BC и BB1. Назовите координаты всех вершин куба.

Ответ: A(1, 0, 0), B(0, 0, 0), C(0, 1, 0), D(1, 1, 0), A1(1, 0, 1), B1(0, 0, 1), C1(0, 1, 1), D1(1, 1, 1).

Упражнение 8

Куб A...D1 помещен в прямоугольную систему координат так, что началом координат является центр нижнего основания куба, ребра куба параллельны соответствующим осям координат, вершина A имеет координаты (-2, 2, 0). Найдите координаты всех остальных вершин куба.

Ответ: B(-2, -2, 0), C(2, -2, 0), D(2, 2, 0), A1(-2, 2, 4), B1(-2, -2, 4), C1(2, -2, 4), D1(2, 2, 4).

Упражнение 9

Центром октаэдра является начало координат. Две его вершины имеют координаты (1, 0, 0) и (0, 1, 0). Найдите координаты остальных вершин октаэдра.

Ответ: (-1, 0, 0), (0, -1, 0), (0, 0, 1), (0, 0, -1).

Упражнение 10

Как расположена сфера радиуса 2 с центром в точке с координатами (1, 2, 3) относительно координатных плоскостей?

Ответ: Не имеет общих точек с координатной плоскостью Oxz; касается координатной плоскости Oxz; пересекает координатную плоскость Oyz.

Упражнение 11

Точка A имеет координаты (x, y, z). Найдите координаты симметричной точки относительно: а) координатных плоскостей; б) координатных прямых; в) начала координат.

Ответ: а) (-x, y, z), (x, -y, z), (x, y, -z);

б) (-x, -y, z), (-x, y, -z), (x, -y, -z);

в) (-x, -y, -z).

Упражнение 12

Найдите координаты середины отрезка: а) AB, если A(1, 2, 3) и B(-1, 0, 1); б) CD, если C(3, 3, 0) и D(3, -1, 2).

Ответ: а) (1, 1, 2); б) (3, 1, 1).