Презентация "Решение комбинаторных задач с помощью бинома Ньютона и полиномиальной формулы" по математике – проект, доклад

Научно - практическая конференция школьников "Эврика"

Решение комбинаторных задач с помощью бинома Ньютона и полиномиальной формулы

Научно – исследовательский проект

Выполнен ученицей 10 «А» класса СОШ № 74 г. Краснодара Щегольковой Анной

Научный руководитель – учитель математики СОШ № 74 Забашта Елена Георгиевна

Цель: Задачи:

изучить и применить бином Ньютона и полиномиальную формулу к решению некоторых комбинаторных задач

1) ознакомиться с формулой бинома Ньютона и ее свойствами, рассмотреть треугольник Паскаля и метод его построения; 2) ознакомиться с полиномиальной формулой как обобщением бинома Ньютона; 3) рассмотреть некоторые комбинаторные задачи, решаемые с помощью бинома Ньютона и полиномиальной формулы.

Язык перечислительной комбинаторики

Бином Ньютона и его свойства

1.Число всех членов разложения на единицу больше показателя степени бинома, т.е. равно n + 1. 2. Сумма показателей степени a и b каждого члена разложения равна показателю степени бинома. 3. Общий член разложения имеет вид

4. Коэффициенты разложения, одинаково удаленные от концов разложения, равны между собой . Правило симметрии

5. Правило Паскаля

Треугольник Паскаля

……………………………………………………..

1 70 2 20 3 4 5 10 15 7 21 35 8 28

Некоторые соотношения для биномиальных коэффициентов

Полиномиальная формула

Задача № 1

Доказать, что делится нацело на 64 при любом натуральном n.

Доказательство.

Обозначив выражение в скобках через а, а N, имеем:

Полученная сумма делится на 64, что и требовалось доказать.

Доказать неравенство Бернулли

Задача № 2

c > 1 + n (c – 1), где с – произвольное число, большее 1, n – натуральное число, большее 1.

Для каждого натурального n и чисел a = 1 и b = c-1 верны равенства

По условию b > 0 и n > 2. Следовательно, каждое слагаемое (их по меньшей мере три) в полученной сумме строго положительно. Значит,

> 1 + nb

и доказываемое неравенство верно.

Задача № 3

Найти разложение степени бинома

Решение. Задача № 4

Найти разложение степени тринома