Презентация "Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон" по математике – проект, доклад

Теорема 1

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Доказательство. Рассмотрим треугольник АВС. Отложим на продолжении стороны АВ отрезок ВD, равный стороне ВС. Треугольник ВDC - равнобедренный. Поэтому 1= 2. Угол 2 составляет часть угла ACD. Следовательно, 2 < ACD. Таким образом, в треугольнике ACD угол C больше угла D. Воспользуемся тем, что в треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Получим неравенство AD > AC. Но AD=AB+BD=AB+BC. Следовательно, имеем неравенство AB+BC > AC, или AC < AB + BC, означающее, что сторона AC треугольника меньше суммы двух других сторон.

Теорема 2

Длина отрезка, соединяющего концы ломаной, не превосходит длины самой ломаной.

Доказательство. Рассмотрим, например, ломаную ABCDE. Заменим соседние стороны AB и BC на отрезок AC. При этом длина ломаной уменьшится или, по крайней мере, не увеличится. Будем и дальше заменять соседние стороны ломаной на отрезки, пока не дойдем до отрезка, соединяющего начало и конец ломаной. При этом каждый раз длина ломаной не будет увеличиваться. Значит, длина отрезка, соединяющего концы ломаной, не превосходит длины всей ломаной.

Упражнение 1

Можно ли построить треугольник со сторонами: а) 13 см, 2 см, 8 см; б) 1 м, 0,5 м, 0,5 м?

Ответ: а), б) Нет.

Упражнение 2

Могут ли стороны треугольника относится как: а) 1 : 2 : 3; б) 2 : 3 : 6; в) 1 : 1 : 2?

Ответ: а), б), в) Нет.

Упражнение 3

В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 25 см, а другая 10 см. Какая из них является основанием?

Ответ: 10 см.

Упражнение 4

Найдите сторону равнобедренного треугольника, если две другие стороны равны: а) 6 см и 3 см; б) 8 см и 2 см.

Ответ: а) 6 см; б) 8 см.

Упражнение 5

В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 12 см, а другая – 5 см. Найдите периметр данного треугольника.

Ответ: 29 см.

Упражнение 6

Периметр равнобедренного треугольника равен 20 см. Одна из сторон больше другой в два раза. Найдите длины сторон этого треугольника.

Ответ: 4 см, 8 см, 8 см.

Упражнение 7

Периметр равнобедренного треугольника равен 25 см, разность двух сторон равна 4 см, а один из его внешних углов острый. Найдите стороны треугольника.

Ответ: 11 см, 7 см, 7 см.

Упражнение 8

В треугольнике ABC AC = 3,8 см, AB = 0,6 см. Длина стороны BC выражается целым числом. Найдите его.

Ответ: 4 см.

Упражнение 9

В каких пределах может изменяться периметр p треугольника, если две его стороны равны a и b (a < b)?

Ответ: 2a < p < 2(a + b).

Упражнение 10

Для точек А, В, С, D на плоскости выполняются равенства АВ = 3 см, ВС = 4 см, CD = 5 см и неравенство AC + BD 2 см. Найдите AD.

Упражнение 11

Пусть ABC – треугольник, D – точка на стороне BC. На прямой AB найдите такую точку E, для которой разность CE – DE наибольшая.

Ответ: Вершина B.

Упражнение 12

Внутри выпуклого четырехугольника ABCD найдите точку O, сумма расстояний от которой до вершин четырехугольника наименьшая.

Ответ: Точка пересечения диагоналей. Для любой другой точки O’ сумма расстояний от нее до вершин будет больше.

Упражнение 13 Ответ: 12 см.

В равнобедренном треугольнике ABC через середину боковой стороны BC = 8 см проведен перпендикуляр, пересекающий основание в точке D, которая соединена с вершиной B. Найдите основание AC данного треугольника, если периметр треугольника ABD равен 20 см.

Упражнение 14 Ответ: 7 см.

В равнобедренном треугольнике ABC через середину боковой стороны BC=14 см проведен перпендикуляр, пересекающий другую боковую сторону AC в точке D, которая соединена с вершиной B. Найдите основание AB, если периметр треугольника ABD равен 21 см.

Упражнение 15

Ответ: а) 8, 2; б) 8, 5; в) 8, 1.

На рисунке изображены стержни, соединенные шарнирами, которые могут свободно двигаться. Для каждой конструкции найдите наибольшее и наименьшее расстояния, на которые можно раздвинуть концы A и B.