Презентация "Две окружности" по математике – проект, доклад

Две окружности

а) не иметь общих точек;

Две окружности могут:

б) иметь только одну общую точку. В этом случае окружности касаются к окружности. Общая точка называется точкой касания;

в) иметь две общие точки. В этом случае говорят, что окружности пересекаются.

Теорема 1

Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их радиусов или меньше их разности, то эти окружности не имеют общих точек.

Доказательство. Пусть даны две окружности с центрами в точках О1, О2 и радиусами соответственно R1, R2, R1 + R2 R1 + R2 - R1 = R2 и, следовательно, точка С не принадлежит второй окружности. Значит, эти окружности не имеют общих точек. Аналогичным образом доказывается, что если O1O2 R2), то окружности также не имеют общих точек.

Теорема 2

Если расстояние между центрами двух окружностей равно сумме или разности их радиусов, то эти окружности касаются.

Доказательство. Пусть даны две окружности с центрами в точках О1, О2 и радиусами соответственно R1, R2, R1+R2 = O1O2. Рассмотрим точку С на отрезке О1О2, для которой О1С = R1, O2C = R2. Она будет общей точкой для данных окружностей. Если D – точка на первой окружности, отличная от С, то из неравенства треугольника следует, что О2D > O1O2 - O1D = R1 + R2 - R1 = R2, следовательно, точка D не принадлежит второй окружности. Значит, данные окружности имеют только одну общую точку, т.е. касаются. Аналогичным образом доказывается, что если O1O2 = R1- R2 (R1 > R2), то окружности также касаются.

Теорема 3

Если расстояние между центрами двух окружностей меньше суммы радиусов и больше их разностей, то эти окружности пересекаются.

Вопрос 1

Сколько общих точек могут иметь две окружности?

Ответ: Ни одной, одну или две.

Вопрос 2

Какие две окружности называются касающимися?

Ответ: Две окружности называются касающимися, если они имеют только одну общую точку.

Вопрос 3

Какие две окружности называются пересекающимися?

Ответ: Две окружности называются пересекающимися, если они имеют две общие точки.

Вопрос 4

Какие окружности называются концентрическими?

Ответ: Окружности называются концентрическими, если они имеют общий центр.

Вопрос 5

В каком случае две окружности не имеют общих точек?

Ответ: Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их радиусов или меньше их разности.

Вопрос 6

В каком случае две окружности касаются: а) внешним образом; б) внутренним образом?

Ответ: а) Если расстояние между их центрами равно сумме радиусов;

б) если расстояние между их центрами равно разности радиусов.

Вопрос 7

В каком случае две окружности пересекаются?

Ответ: Если расстояние между центрами двух окружностей меньше суммы радиусов и больше их разностей.

Упражнение 1

Дана окружность радиуса 3 см и точка А на расстоянии, равном 5 см, от центра окружности. Найдите радиус окружности, касающейся данной и имеющей центр в точке А.

Ответ: 2 см.

Упражнение 2

Расстояние между центрами двух окружностей равно 5 см. Как расположены эти окружности по отношению друг к другу, если их радиусы равны: а) 2 см и 3 см; б) 2 см и 2 см?

Ответ: а) Касаются;

б) не имеют общих точек.

Упражнение 3

Расстояние между центрами двух окружностей равно 2 см. Как расположены эти окружности по отношению друг к другу, если их радиусы равны: а) 3 см и 5 см; б) 2 см и 5 см?

Упражнение 4

Чему равно расстояние между центрами двух окружностей, радиусы которых равны 4 см и 6 см, если окружности: а) касаются внешне; б) касаются внутренне?

Ответ: а) 10 см; б) 4 см.

Упражнение 5

Радиусы двух концентрических окружностей относятся как 3:7. Найдите диаметры этих окружностей, если ширина кольца, образованного ими, равна 24 см.

Ответ: 36 см и 84 см.

Упражнение 6

Две окружности касаются внешним образом. Радиусы окружностей относятся как 2:3. Найдите диаметры окружностей, если расстояние между их центрами равно 10 см.

Ответ: 8 см и 12 см.

Упражнение 7

Две окружности касаются внутренним образом. Найдите радиусы этих окружностей, если они относятся как 5:2, а расстояние между центрами равно 15 см.

Ответ: 25 см и 10 см.

Упражнение 8

Расстояние между центрами двух окружностей равно d и больше суммы их радиусов R1 и R2. Найдите наименьшее расстояние между точками, расположенными на данных окружностях.

Ответ: d – R1 – R2.

Упражнение 9

Расстояние между центрами двух окружностей равно d и больше суммы их радиусов R1 и R2. Найдите наибольшее расстояние между точками, расположенными на данных окружностях.

Ответ: d + R1 + R2.

Упражнение 10

Расстояние между центрами двух окружностей равно d и меньше разности R1 – R2 их радиусов. Найдите наименьшее и наибольшее расстояния между точками, расположенными на данных окружностях.

Ответ: R1 – R2 – d; R1 + R2 + d.

Упражнение 11

Могут ли попарно касаться друг друга: а) три окружности; б) четыре окружности; в) пять окружностей?

Ответ: а) Да; б) да; в) нет.

Упражнение 12

Могут ли попарно касаться друг друга четыре окружности одинакового радиуса?

Ответ: Нет.

Упражнение 13

Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь а) две окружности; б) три окружности; в) четыре окружности?

Ответ: а) 2; б) 6; в) 12.

Упражнение 14

На какое наибольшее число частей могут делить плоскость: а) одна окружность; б) две окружности; в) три окружности?

б) 4; в) 8.

Упражнение 15

Две окружности с центрами в точках O1, O2 и радиусами R1, R2 разбили плоскость на четыре области. Какой области принадлежит точка A, для которой выполняются неравенства: а) AO1 R2; в) AO1 > R1 и AO2 R1 и AO2 > R2;

Ответ: а) 1; б) 2; в) 3; г) 4.

Упражнение 16

Три окружности разбили плоскость на восемь областей. Напишите неравенства, которым удовлетворяет точка A, принадлежащая области: а) 1; б) 2; в) 3; г) 4.

Ответ: а) AO1

б) AO1 R3;

в) AO1 > R1, AO2 > R2, AO3

г) AO1 > R1, AO2 > R2, AO3 > R3.