Презентация "Что такое параллелограмм" по математике – проект, доклад

Четырехугольники 8 класс геометрия

Урок № 2 Параллелограмм

30.11.2012 www.konspekturoka.ru

Цели:

Ввести понятие параллелограмма. Рассмотреть свойства параллелограмма. Рассмотреть признаки параллелограмма. Решение базовых задач.

ABCD – параллелограмм. AB II CD, DC II AD.

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма

1

В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4 ВС = AD, АВ = СD

2

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам.

О ВО = ОD, АО = ОС

О – точка пересечения диагоналей

3

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

∠А + ∠D = 180° , ∠D + ∠C = 180° , ∠А + ∠B = 180° , ∠В + ∠C = 180° ,

Признаки параллелограмма

Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм.

АВСD – четырехугольник, АВ = CD, АВ ∥ CD

АВСD – параллелограмм

Доказательство

Пусть АВ = СD и АВ ∥ СD, проведем диагональ АС.

Рассмотрим треугольники ∆ АBC и ∆ACD:

∆ АBC = ∆ACD – по двум сторонам и углу между ними (АС – общая, АВ = СD – по условию, ∠1 = ∠ 2 как накрест лежащие при АВ ∥ СD и секущей АС. Поэтому ∠3 = ∠ 4.

4

Но ∠3 и ∠ 4 – накрест лежащие углы при пересечении прямых ВС и AD секущей – АС. Следовательно ВС∥ AD.

Таким образом, если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны, то этот четырехугольник АВСD - параллелограмм.

Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

АВСD – четырехугольник, АВ = CD, ВС = АD

АВСD- четырехугольник, АВ = CD, ВС = АD.

∆ АBC = ∆ACD – по трем сторонам (АС – общая, АВ = СD, ВС = АD – по условию).

Поэтому ∠1 = ∠ 2 как накрест лежащие при секущей АС. Отсюда следует, что АВ ∥ СD.

Проведем диагональ АС.

Так как АВ ∥ СD и АВ = СD, то по признаку 1 четырехугольник АВСD – параллелограмм (если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм).

Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм.

АВСD – четырехугольник, ВО = ОD, АО = ОС

АВСD – четырехугольник, ВО = ОD, АО = ОС.

Проведем диагонали АС и BD.

Рассмотрим треугольники ∆ АОB и ∆CОD:

∆ АОB = ∆CОD – по первому признаку равенства треугольников (ВО = ОD, АО = ОС – по условию, ∠ АОB = ∠ CОD – как вертикаль.)

Поэтому АВ = CD и ∠1 = ∠2.

Из ∠1 = ∠2 следует, что АВ ∥ CD.

Так как в четырехугольнике АВСD стороны АВ = CD и АВ ∥ CD, то по 1 признаку четырехугольник АВСD – параллелограмм (если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм).

АВСD – четырехугольник, ∠BАC = ∠ACD, ∠CAD =∠BCA

АВСD – параллелограмм.

1. ∠BАC = ∠ACD, ∠CAD =∠BCA – по условию, АС – общая;

следовательно ∆ АBC = ∆ACD – по стороне и двум прилежащим углам; поэтому ВС = AD.

2.Так как ∠BАC = ∠ACD – накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС, AD и секущей - АС, то ВС ∥ AD.

3.Так как ВС = AD и ВС ∥ AD, то по 1-му признаку параллелограмма АВСD – параллелограмм, что и требовалось доказать.

Задача

Ответить на вопросы:

Спасибо за внимание!

Какая фигура называется параллелограммом? Докажите, что в параллелограмме противоположные стороны и углы равны. Докажите, что в параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. Сформулируйте и докажите признаки параллелограмма.