Презентация "Задачи по вписанной и описанной окружности" по математике – проект, доклад

Многоугольники, вписанные в окружность

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины принадлежат окружности. Окружность при этом называется описанной около многоугольника.

Теорема 1

Около всякого треугольника можно описать окружность. Ее центр является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Теорема 2

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность.

Теорема 3

Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180о.

Вопрос 1

Какой многоугольник называется вписанным в окружность?

Ответ: Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины принадлежат окружности.

Вопрос 2

Какая окружность называется описанной около многоугольника?

Ответ: Окружность называется описанной около многоугольника, если ей принадлежат все вершины этого многоугольника.

Вопрос 3

Около всякого ли треугольника можно описать окружность?

Ответ: Да.

Вопрос 4

Где находится центр описанной около треугольника окружности?

Ответ: Центром описанной окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Вопрос 5

Можно ли описать окружность около правильного многоугольника?

Упражнение 1

Укажите центр окружности, описанной около прямоугольника ABCD.

Ответ:

Упражнение 2

Укажите центр окружности, описанной около треугольника ABC.

Упражнение 3

Упражнение 4

Укажите центр окружности, описанной около многоугольника ABCDEFGH.

Упражнение 5

Укажите центр окружности, описанной около трапеции ABCD.

Упражнение 6

Может ли центр описанной около треугольника окружности находиться: а) внутри треугольника; б) на стороне треугольника; в) вне этого треугольника?

Ответ: а) Да; б) да; в) да.

Упражнение 7

С помощью циркуля и линейки постройте окружность, описанную около треугольника со сторонами 4 см, 5 см, 6 см.

Решение. Центром описанной окружности будет точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Упражнение 8

С помощью циркуля и линейки постройте окружность, описанную около треугольника со сторонами 3 см, 4 см, 5 см.

Упражнение 9

С помощью циркуля и линейки постройте окружность, описанную около треугольника со сторонами 2 см, 3 см, 4 см.

Упражнение 10

Постройте треугольник ABC по двум данным сторонам AB = c, AC = b и радиусу R описанной окружности.

Решение: Проведем окружность радиуса R. С центром в точке A этой окружности и радиусом c проведем дугу окружности. Обозначим B ее точку пересечения с проведенной окружностью. Проведем отрезок AB. С центром в точке A проведем дугу окружности радиуса b. Обозначим C1, C2 ее точки пересечения с проведенной окружностью. Соединим их отрезками с точками A и B. Треугольники ABC1 и ABC2 будут искомыми.

Упражнение 11

Постройте треугольник ABC по данным стороне AB = c, углу A и радиусу R описанной окружности.

Решение: Проведем окружность радиуса R. С центром в точке A этой окружности и радиусом c проведем дугу окружности. Обозначим B ее точку пересечения с проведенной окружностью. Проведем отрезок AB. От луча AB отложим углы, равные углу A. Обозначим C1, C2 точки пересечения их лучей с проведенной окружностью. Соединим их отрезками с точками A и B. Треугольники ABC1 и ABC2 будут искомыми.

Упражнение 12

Всегда ли можно ли описать окружность около: а) прямоугольника; б) параллелограмма; в) ромба; г) квадрата; д) равнобедренной трапеции; е) прямоугольной трапеции?

б) нет; в) нет; г) да; д) да; е) нет.

Упражнение 13

Можно ли описать окружность около четырехугольника, углы которого последовательно равны: а) 70о, 130о, 110о, 50о; б) 90о, 90о, 60о, 120о; в) 45о, 75о, 135о, 105о; г) 40о, 125о, 55о, 140о?

в) да; г) нет.

Упражнение 14

Где находится центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника?

Ответ: В середине гипотенузы.

Упражнение 15

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см. Найдите радиус описанной окружности.

Ответ: 5 см.

Упражнение 16

Сторона AB треугольника ABC равна 1. Противолежащий ей угол C равен 30о. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Ответ: 1.

Упражнение 17

Одна сторона треугольника равна радиусу описанной окружности. Найдите угол треугольника, противолежащий этой стороне.

Ответ: 30о.

Упражнение 18

Угол C треугольника ABC, вписанного в окружность радиуса 3, равен 30о. Найдите сторону AB этого треугольника, противолежащую данному углу.

Ответ: 3.

Упражнение 19

Сторона AB треугольника ABC равна 1. Противолежащий ей угол C равен 120о. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Упражнение 20

Сторона AB тупоугольного треугольника ABC равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол C.

Ответ: 150о.

Упражнение 21

Ответ: 12о25'30", 12о25'30", 155о9'.

Найдите углы вписанного в окружность равнобедренного треугольника, боковая сторона которого стягивает дугу в 24о51'.

Упражнение 22

Найдите углы вписанного в окружность равнобедренного треугольника, если его основание стягивает дугу в 100о.

Ответ: 50о, 65о, 65о или 25о30’, 25о30’, 130о.

Упражнение 23

Два угла треугольника равны 60о и 40о. Под какими углами видны его стороны из центра описанной около него окружности?

Ответ: 120о, 80о и 160о.

Упражнение 24 Ответ: 100о.

Точки А, В, С, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как 1 : 3 : 5. Найдите больший угол треугольника АВС.

Упражнение 25 Ответ: 30о, 45о и 105о.

Точки А, В, С, расположенные на окружности, делят эту окружность на три дуги, градусные величины которых относятся как 2 : 3 : 7. Найдите углы треугольника АВС.

Упражнение 26 Ответ: 122о.

Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 58о. Найдите угол С этого четырехугольника.

Упражнение 27 Ответ: 108о.

Стороны четырехугольника ABCD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 95о, 49о, 71о, 145о. Найдите угол B этого четырехугольника.

Упражнение 28

Точки А, В, С, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги, градусные величины которых относятся как 4:2:3:6. Найдите угол A четырехугольника АВСD.

Ответ: 60о.

Упражнение 29

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 80о и 60о. Найдите два других угла четырехугольника.

Ответ: 100о и 120о.

Упражнение 30

Углы A, B и C четырехугольника ABCD относятся как 2:3:4. Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность.

Ответ: 90о.

Упражнение 31

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 105о, угол CAD равен 35о. Найдите угол ABD.

Ответ: 70о.

Упражнение 32

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 75о, угол CAD равен 35о. Найдите угол ABC.

Ответ: 110о.

Упражнение 33

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 110о, угол ABD равен 70о. Найдите угол CAD.

Ответ: 40о.

Упражнение 34

Ответ: Против угла в 30о.

Углы треугольника равны 30о, 65о и 85о. Какая из сторон треугольника расположена дальше от центра описанной окружности?

Упражнение 35

Найдите диагональ прямоугольника, вписанного в окружность радиуса 6 см.

Ответ: 12 см.

Упражнение 36 Ответ: R.

Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса R?

Упражнение 37 Ответ: 2.

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 1, угол при вершине, противолежащей основанию, равен 120о. Найдите диаметр описанной окружности.

Упражнение 38

Меньшая сторона прямоугольника равна 5 см. Угол между диагоналями равен 60о. Найдите радиус описанной окружности.

Упражнение 39

Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 20 см, средняя линия 5 см. Найдите боковые стороны трапеции.

Упражнение 40

Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию. Угол при основании равен 60о. Где расположен центр описанной около данной трапеции окружности?

Ответ: В середине большего основания.

Упражнение 41

Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника ABC, если стороны квадратных клеток равны 1.

Ответ: 2,5.

Упражнение 42

Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника ABCD, если стороны квадратных клеток равны 1.

Упражнение 43*

Можно ли описать окружность около пятиугольника с углами 80о, 90о, 100о, 130о, 140о?

Решение. Установим соотношение между углами вписанного пятиугольника ABCDE. Заметим, что углы A и C опираются на дуги, в сумме составляющие всю окружность плюс дугу DE.

Из этого вытекает, что сумма любых двух несоседних углов любого вписанного пятиугольника больше 180о. Указанные в задаче углы не удовлетворяют этому условию, и, значит, около такого пятиугольника нельзя описать окружность.

Упражнение 44*

Докажите, что если сумма любых двух несоседних углов пятиугольника ABCDE больше 180о, то существует пятиугольник с такими же углами, около которого можно описать окружность.

Решение. Искомым пятиугольником является пятиугольник A’B’C’D’E’, для которого

Упражнение 45*

Можно ли описать окружность около шестиугольника с углами 100о, 110о, 120о, 120о, 130о, 140о?

Решение. Заметим, что сумма любых трех несоседних углов вписанного шестиугольника равна 360о. Указанные в задаче углы не удовлетворяют этому условию, и, значит, около такого шестиугольника нельзя описать окружность.

Упражнение 46*

Четыре последовательных угла вписанного шестиугольника равны 100о, 110о, 120о, 120о. Найдите оставшиеся два угла.

Ответ. 140о и 130о.

Упражнение 47*

Докажите, что сумма любых трех несоседних углов вписанного семиугольника больше 360о.

Решение. Угол A опирается на всю окружность без дуги BG. Угол C опирается на всю окружность без дуги BD. Угол E опирается на всю окружность без дуги DF. В сумме эти углы опираются на более чем две окружности. Следовательно, их сумма больше 360о.