Конспект урока «Кодирование вещественных чисел. Представление чисел в формате с плавающей запятой» по информатике для 10 класса

Кодирование вещественных чисел. Представление чисел в формате с плавающей запятой.

Цели:

• научить учащихся представлять вещественные числа в памяти компьютера;

• развивать логическое мышление, умение анализировать и обобщать;

• повышать интерес учащихся к предмету “информатика”.

Требования к знаниям и умениям:

Учащиеся должны знать:

• формат записи вещественных чисел памяти компьютера;

Учащиеся должны уметь:

• представлять вещественные числа в форме с плавающей запятой и нормализованной мантиссой.

Ход урока

Актуализация знаний

Какие наибольшие и наименьшие значения чисел с фиксированной запятой можно представить в компьютере в одно-, двух- и четырехбайтовой разрядной сетке?

Сформулируйте алгоритм внутреннего представления в памяти компьютера целых чисел без знака.

Проверка Д/З.

Анализ проверочной работы предыдущего урока.

Кодирование вещественных чисел

Недостатком представления чисел в формате с фиксированной запятой яв­ляется конечный диапазон представления величин, недостаточный для реше­ния математических, физических, экономических и других задач, в которых используются как очень малые, так и очень большие числа. Поэтому для пре­ставления вещественных чисел (конечных и бесконечных десятичных дробей) используется другой формат - формат с плавающей точкой (запятой).

Формат чисел с плавающей точкой основывается на экспоненциальной форме записи чисел, в которой любое число может быть представлено в следующей форме:

А = m • qⁿ, где:

m—мантисса числа, которая для однозначности представления чисел с пла­вающей точкой должна иметь нормализованную форму, а именно представ­лять собой правильную дробь с цифрой после запятой, отличной от нуля;

q - основание системы счисления;

n - порядок числа.

Примеры нормализованного представления.

1. 3,1415926 = 0, 31415926 * 10¹;

2. 1000=0,1 * 10⁴;

3. 0,123456789 = 0,123456789 * 10⁰;

4. 0,0000107₈ = 0,107₈ * 8^-4; (порядок записан в 10-й системе)

5. 1000,0001₂ = 0, 10000001₂ * 2¹⁰⁰(порядок 100₂=4₁₀).

6. 0,000011₂=0,11₂*2^-100 (порядок -100₂=-4₁₀)

7. Так как число ноль не может быть записано в нормализованной форме в том виде, в каком она была определена, то считаем, что нормализованная запись нуля в 10-й системе будет такой:
   0 = 0,0 * 10⁰.

Число в форме с плавающей точкой занимает в памяти компьютера четыре (число обычной точности) байта или восемь (число двойной точности) байта. Для записи чисел в разрядной сетке выделяются разряды для знака, для порядка и для мантиссы.

Здесь порядок n-разрядного нормализованного числа задается в так называемой смещенной форме: если для задания порядка выде­лено к разрядов, то к истинному значению порядка, представленного в дополнительном коде, прибавляют смещение, равное (2 ^к-1 — 1). Например, порядок, принимающий значения в диапазоне от —128 до +127, представляется смещенным порядком, значения которого ме­няются от 0 до 255. Использование смещенной формы позволяет про­изводить операции над порядками как над беззнаковыми числами, что упрощает операции сравнения, сложения и вычитания порядков, а также операцию сравнения самих нормализованных чисел.

Чем больше разрядов отводится под запись мантиссы, тем выше точность представления числа. Чем больше разрядов занимает порядок, тем шире диапазон от наименьшего отличного от нуля числа до наибольшего числа, представимого в машине при заданном формате.

Стандартные форматы представления вещественных чисел:

1. Одинарный - 32-разрядное нормализованное число со зна­ком, 8-разрядным смещенным порядком и 24-разрядной мантиссой (старший бит мантиссы, всегда равный 1, не хранится в памяти, и размер поля, выделенного для хранения мантиссы, составляет толь­ко 23 разряда).

2. Двойной — 64-разрядное нормализованное число со зна­ком, 11-разрядным смещенным порядком и 53-разрядной мантиссой (старший бит мантиссы не хранится, и размер поля, выделенного для хранения мантиссы, составляет 52 разряда).

3) Расширенный - 80-разрядное число со знаком, 15-разряд­ным смещенным порядком и 64-разрядной мантиссой. Позволяет хранить ненормализованные числа.

Следует отметить, что вещественный формат с m-разрядной мантиссой позволяет абсолютно точно представлять m-разрядные целые числа, т. е. любое двоичное целое число, содержащее не более т разря­дов, может быть без искажений преобразовано в вещественный формат.

Заполним таблицу интервалов чисел различных форматов (вместе с учащимися):

Формат с плавающей точкой

Пояснение: количество разрядов, отведенных для хранения порядка числа, определяет диапазон изменения чисел, а количество значащих цифр опре­деляется количеством разрядов, отводимое для хранения мантиссы.

Диапазон вещественных чисел значительно шире диапазона целых чисел. Положительные и отрицательные числа расположены симметрично относительно нуля. Следовательно, максимальное и минимальное числа равны между собой по модулю.

Наименьшее по абсолютной величине число равно нулю. Наибольшее по абсолютной величине число в форме с плаваю­щей точкой — это число с самой большой мантиссой и самым большим порядком.

Для 4-х байтового машинного слова таким числом будет:

0,111111111111111111111111 * 10₂^1111111

После перевода в десятичную систему счисления получим: (1 - 2^-24) * 2⁶³ ≈ 10¹⁹.

Множество вещественных чисел, представимых в памяти компьютера в форме с плавающей точкой, является ограничен­ным и дискретным. Количество вещественных чисел, точно представимых в памяти компьютера, вычисляется по форму­ле: N = 2^t * (U - L + 1) + 1.

Здесь t — количество двоичных раз­рядов мантиссы; U — максимальное значение математического порядка; L — минимальное значение порядка. Для рассмотрен­ного нами варианта (t = 24, U = 63, L = -64) получается: N = 2 146 683 548.

Пример 1. Записать внутреннее представление числа 250,1875₁₀ в форме с плавающей точкой.

1. Переведем число в 2-СС с 24 значащими цифрами:

250,1875₁₀ = 11111010, 0011000000000000₂

2. Запишем в форме нормализованного двоичного числа с плавающей точкой:

0,111110100011000000000000₂ * 10₂¹⁰⁰⁰ (2₁₀ = 10₂, 8₁₀ = 1000₂)

3. Вычислим машинный порядок в 2-СС: Mp₂ = n₂ + 1000000₂ (в 10-CC: Mp₁₀ = n₁₀ + 64₁₀)

Mp₂ = 1000 + 1000000 = 1001000

4. Запишем представление числа в 4-х байтовой ячейке памяти с учетом знака числа:

Порядок

Шестнадцатеричная форма: 487D1800

Алгоритм представления числа с плавающей запятой

(формулируют учащиеся по разобранному примеру).

1. Перевести число из p-ричной системы счисления в двоичную;

2. представить двоичное число в нормализованной экспоненциальной форме;

3. рассчитать смещённый порядок числа;

4. разместить знак, порядок и мантиссу в соответствующие разряды сетки.

Пример для самостоятельного выполнения с последующей проверкой у доски.

А) -1101,0011₂ .

Б) 123,125₁₀

Ответ:

А) 01000100 11101001 10000000 00000000 (44E98000₁₆)

Б) 01000111 01111011 00100000 00000000 (477B2000₁₆)

Итоги урока, выставление оценок.

Д/З: записать внутреннее представление вещественных числа в 8-байтовой разрядной сетке и их 16-ричную форму: 0,00011101₂; - 185,75₁₀ .