Занятие№1

Тема занятия: Системы счисления. Перевод чисел из одной системы в другую.

Цель занятия:

Образовательная:

• Познакомить студентов с системами счисления (2СС, 8СС).

• Научить переводить числа из одной системы в другую и наоборот.

Развивающая:

• реализация межпредметных связей путем применения студентами ранее полученных знаний («Математика»).

Воспитательная:

• формирование у студентов внимательности, аккуратности.

Оборудование занятия:

• персональные компьютеры;

План занятия

1. Мотивация изучения нового материала

2. Изучение нового материала

1. Системы счисления, их типы.

2. Двоичная система счисления.

3. Перевод чисел из 2СС в 10СС и из 10СС в 2СС.

4. Восьмеричная система счисления.

5. Перевод чисел из 8СС в 10СС и из 10СС в 8СС, 2СС в 8СС, 8СС в 2СС.

3. Закрепление знаний

Для закрепления на 10 минут самостоятельная работа.

Перевести:

1. 47₁₀ – Х₂

2. 10101,01₂ – Х₁₀

3. 101101100,01011₂ – Х₈

4. Задание на дом

Примеры:

1. 79₁₀ - Х₂,

2. 1011111,11₂ – Х₁₀,

3. 123,4₈ – Х₁₀,

4. 83,2₁₀ – Х₈,

5. 123,4₈ – Х₂.

Конспект

Системы счисления

Под системой счисления понимают совокупность приемов для представления и записи чисел с помощью определенного количества знаков (цифр). Существуют позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах значение (вес) каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Примером позиционной системы является десятичная система счисления. Проанализируем вместе с учащимися, как представляются числа в этой системе.

Для представления чисел в десятичной системе используются десять цифр: от 0 до 9. Число записанное в десятичной системе, 2359,407 читается как две тысячи триста пятьдесят девять и четыреста семь тысячных и может быть представлено следующим образом:

2*1000 + 3*100 + 5*10 + 9*1 + 4*0,1 + 7*0,001.

Следует обратить внимание студентов, что множители каждого слагаемого представляют собой одну из степеней числа 10, т.е. можно записать:

2*10³ + 3*10² + 5*10¹ + 9*10⁰ + 4*10^-1 + 0*10^-2 + 7*10^-3.

Подчеркнем при этом, что положение (позиция) цифры определяет ее значение. Двойка, стоящая на первом месте, означает количество тысяч в этом числе, а четверка, стоящая после запятой, - количество десятых долей.

Системы счисления, в которых значение цифры зависит от ее позиции в последовательности цифр, изображающих число, принято называть позиционными.

В непозиционных системах значение цифры не зависит от ее позиции. Общеизвестным примером непозиционной системы является римская система счисления. Так, в числе МСХХХII (1132) значение цифры Х не изменяется и всегда равно десяти.

Двоичная система счисления

Двоичная система счисления – основание этой системы S=2, в ней используют лишь две цифры: 0 и 1. Ее используют в ЭВМ для представления чисел и выполнения над ними различных арифметических и логических операций. Поскольку в ней используют лишь две цифры: 0 и 1, она легко может быть реализована на элементах, обладающих двумя устойчивыми состояниями.

А₂= а_{п *} 2^п + а_п-1 * 2^п-1 +… + а₀ * 2⁰ + …

Пример:

101011011₂ = 1*2⁶ + 0*2⁵ + 1*2⁴ + 0*2³+ 1*2² + 1*2¹ + 0*2⁰ + 1*2^-1 + 1*2^-2=

= 64 + 16 + 4 + 2+ 0,5 + 0,25=86,75₁₀.

Чтобы перевести число из двоичной системы счисления в десятичную нужно записать его в виде многочлена, где коэффициенты числа будут умножаться на степени двойки и найти сумму слагаемых.

10 СС

А₂ = А*2³ + А₂*2² + А*2¹+А*2⁰.

Чтобы перевести число из десятичной системы счисления в двоичную нужно разделить его на два до тех пор пока последнее частное будет меньше 2. Остатки будут являться коэффициентами числа.

Восьмеричная система счисления

А₈=а_п*8^п+…+а_п*8⁰+…

Восьмеричную систему счисления применяют в ЭВМ как вспомогательную при подготовке задачи к решению (в процессе программирования), при проверке работы машины и отладке программы. Эта система дает более короткую запись числа по сравнению с двоичной системой счисления. В восьмеричной системе счисления используют восемь цифр от 0 до 7, а любое число в этой системе представляют самой суммой целых степеней основания S=8, умноженных на соответствующие коэффициенты

Пример:

173,2₈ – Х₁₀

173,2₈=1*8²+7*8¹+3*8⁰+2*8^-1=64+56+3+2/8=123,25₁₀

Чтобы перевести число из 2 СС в 8 СС нужно разбить его от запятой вправо и влево на триады цифр. Недостающие цифры до 3 записать нулями, и записать эти триады в 8 СС.

Пример:

10101100,10111₂ – Х₈

010 101 100 , 101 110

2 5 4 , 5 6 Ответ: 254,56₈

Чтобы перевести число из 8 СС в 2 СС нужно записать каждую цифру числа в виде триады цифр в 2 СС.

Пример:

1360,75₈ – Х₂

1 3 6 0 , 7 5

001 011 110 000 , 111 101 Ответ: 1011110000,111101₂

Для перевода целого числа из одной позиционной системы с основанием 10 в другую с основанием 8 надо это число последовательно делить на основание 8 новой системы счисления до тех пор, пока не получится частное, меньшее 8.

Для перевода восьмеричных чисел в двоичную систему счисления достаточно каждую их цифру заменить соответственно трех- или четырехразрядным двоичным числом.

Пример:

571₈ – Х₂ –?

5 7 1

101 111 001

Ответ: 101111001₂.

Теория

Системы счисления

В этой главе речь пойдет о представлении числовой информации.

Человеку издревле приходилось считать различные предметы, нужно было и записывать их количество. Самой первой, вероятно, возникла унарная² система записи, при которой числа обозначались соответствующим количеством черточек (или засечек на деревяшке).

Унарная запись получается очень громоздкой и неудобной, поэтому люди стали искать более компактные способы обозначать большие числа. Появились разные условные обозначения для различных чисел. Например, многие народы использовали в качестве цифр буквы, к которым добавляли специальные значки. На Руси таким знаком было титло

Но, все равно, число получалось сложением цифр, поэтому система оставалась сложной. Представьте: чтобы пользоваться древнерусской системой счисления, нужно было знать числовое значение 30 букв, а еще -- несколько особых символов, увеличивавших это значение ("тысяча", "тьма", "легион", "леодр"... -- все они получались при приписывании к "единице" -- букве "аз" разных значков). Вычисления же в таких системах были вообще чрезвычайно затруднены.

В римской системе счисления появилась одна новая идея: хотя там тоже для обозначения чисел использовали буквы (1 -- I, 5 -- V, 10 -- X, 50 -- L, 100 -- C, 500 -- D, 1000 -- M), но роль их зависела от порядка записи (значение могло не только прибавляться, но и вычитаться). Развитие этой идеи привело к появлению современных позиционных систем счисления.

Мы настолько привыкли к нашей обычной -- десятеричной -- системе, что даже не задумываемся, насколько гениальной была идея, положенная в ее основу³: в позиционных системах счисления значение цифры зависит от ее позиции (места) в числе. Например, число 444 записано тремя одинаковыми цифрами, но каждая из них имеет свое значение: четыре сотни, четыре десятка и четыре единицы. То есть его можно записать вот так:

444 = 4^.100 + 4^.10 + 4^.1.

или

444 = 4^.10² + 4^.10¹ + 4^.10⁰.

Нетрудно заметить, что если обозначить цифры числа как a₂, a₁ и a₀, то любое трехзначное число может быть представлено в виде:

N = a₂^.10² + a₁^.10¹ + a₀^.10⁰.

Число 10, степени которого используются в этой формуле (и именно столько разных цифр есть в десятичной системе), называют основанием системы счисления, а степени десятки -- весами разрядов.

Вообще, выбор в качестве основания позиционной системы именно числа 10 объясняется традицией, а не какими-то особыми свойствами этого числа. С не меньшим успехом можно использовать и любое другое. В общем случае, если основание системы счисления равно p, число, записанное в этой системе, можно представить в виде:

N = a_ipⁱ + ... + a₂p² + a₁p¹ + a₀p⁰, [1]

причем каждый из коэффициентов-цифр должен быть меньше p.

Пользуясь этой формулой можно легко перевести число из системы счисления с любым основанием в десятеричную.

Пример:

32542₆ = 3^.6⁴ +2^.6³ + 5^.6² + 4^.6¹ + 2^.6⁰ = 3^.1296 + 2^.216 + 5^.36 + 4^.6 + 2 = 3888 + 432 + 180 + 24 + 2 = 4526

А как выполнить обратный перевод? Для этого нам нужно будет последовательно делить нацело наше число на основание новой системы счисления, запоминая остатки. Пусть нужно перевести число 2000 в восьмеричную систему счисления.

Действуем так:

2000:8=250(ост.0)
250:8=31(ост.2)
31:8=3(ост.7)
3 : 8 = 0 (ост. 3)

Теперь запишем все остатки, не забывая о нулевых, с последнего до первого⁴:

3720

Это и будет искомое представление.

200010 = 3720₈.

Контрольные вопросы

1. Что такое система счисления?

2. Чем отличаются позиционные системы счисления от непозиционных, в чем их преимущества?

3. Переведите в десятеричную систему счисления:
   а) 4761₉; б) 3342₅; в) 22123₄; г) 11010100₂.

4. Переведите число 1998₁₀ в системы счисления с основаниями 2, 3, 8.

Примечания

2. От лат. Unus -- один

3. Мы обычно называем такую запись чисел арабской. На самом деле, изобретена она в Индии, но европейцы впервые узнали о ней от арабов

4. Этим мы, фактически, определили, что 2000 = ((3.8 + 7).8 + 2).8 + 0 или, раскрывая скобки, 3.8³ + 7.8² + 2.8 + 0. Сравните этот результат с формулой [1]