- Системы линейных уравнений. Метод Гаусса

Конспект урока «Системы линейных уравнений. Метод Гаусса» по алгебре для 9 класса

ГБОУ средней общеобразовательной школы №618 г. Москвы










Конспект урока

по теме

«Системы линейных уравнений.

Метод Гаусса»





Предмет: алгебра

Контингент: 9 – 11 класс

Тип урока: урок - лекция


Автор:

Макарова Татьяна Павловна,

учитель математики

ГБОУ средней общеобразовательной школы №618

г. Москвы






Конспект урока по теме «Системы линейных уравнений. Метод Гаусса»

Автор:

Макарова Татьяна Павловна,

учитель математики

ГБОУ средней общеобразовательной школы №618 г. Москвы


Цели урока:

  1. Формирование и закрепление у учащихся навыков решения систем линейных уравнений методом Гаусса.


Задачи урока:

  1. Сформировать навыки и умения решения систем линейных уравнений, используя метод Гаусса.

  2. Прививать интерес к предмету через привлечение различных источников информации; расширять кругозор учащихся; способствовать формированию исследовательских и коммуникативных компетенций, навыков само- и взаимопроверки.

  3. Развивать логическое мышление, способность к абстрагированию, анализу.

  4. Воспитывать самостоятельность и активность учащихся.


Тип урока: урок – лекция


Методы и педагогические приёмы:
• словесный метод;
• наглядный метод;
• методы самостоятельной учебной работы и работы под руководством учителя;
• методы контроля (устный, письменный);
• методы самоконтроля и взаимоконтроля;
• дифференцированная работа.


Формы организации совзаимодействия на уроке: учебная, групповая работа, индивидуальная работа


Оборудование: раздаточный материал


Контингент: 9-11 классы





Ход урока

I. Организационный момент (приветствие учащихся).


II. Актуализация.
Продолжаем рассматривать системы линейных уравнений.

Сначала немного систематизируем знания о системах линейных уравнений.

Фронтальный опрос:

  1. Сколько решений может иметь система линейных уравнений?

Предполагаемый ответ учащихся:

Система линейных уравнений может:

1) Иметь единственное решение.
2) Иметь бесконечно много решений.
3) Не иметь решений (быть
несовместной).

  1. Какие методы решения систем линейных уравнений вы знаете?

Предполагаемый ответ учащихся:

Метод подстановки, сложения, графический метод.


III. Основная часть.

Метод Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решения любой системы линейных уравнений.

Известный немецкий математик Иоганн Карл Фридрих Гаусс еще при жизни получил признание величайшего математика всех времен, гения и даже прозвище «короля математики». А всё гениальное, как известно – просто!

Метод Гаусса - метод последовательного исключения неизвестных.

Рассмотрим систему, состоящую из n уравнений первой степени с n неизвестными, или систему линейных уравнений.

(1)

Первый индекс коэффициентов при неизвестных обозначает номер уравнения, а второй - номер переменной. Такая система может быть несовместной, если она не имеет решения, и совместной, если имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определенной, а более одного - неопределенной.

При помощи элементарных преобразований сначала исключаем из всех уравнений, кроме первого, переменное x1. Далее исключаем из всех уравнений, кроме первого и второго, переменную x2 и так далее. В конечном итоге мы приходим к системе следующего вида:

(2)

Если в полученной системе (2) в последнем уравнении свободный член не равен нулю, а коэффициент в левой части равен нулю, то исходная система (1) несовместна, т.е. не имеет решений. Если в системе (2) все коэффициенты в левой и правой части последнего уравнения равны нулю, тогда система (1) будет совместной неопределенной. В остальных случаях система будет обладать единственным решением.

Напомним, что к элементарным преобразованиям системы относятся следующие:

1). Перемена местами двух уравнений в системе;

2). Умножение какого - либо уравнения системы на действительное число, не равное нулю.

3). Прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на произвольное число, не равное нулю.

Системы линейных уравнений (1) и (2) являются эквивалентными, т.к. множество их решений совпадают.

На практике более удобным оказывается применение метода Гаусса не, собственно, к самой системе линейных уравнений, а к ее расширенной матрице. Когда расширенная матрица будет приведена к треугольному виду, на этом цепь элементарных преобразований над матрицей завершается.

Пример 1. Найти решения системы уравнений:

Решение. Выпишем расширенную матрицу данной системы. Первый столбец будет стоять из коэффициентов, находящихся при переменной х1, второй столбец - соответственно из коэффициентов при х2, третий столбец - из коэффициентов при х3, четвертый столбец расширенной матрицы - из свободных членов.

Расширенная матрица коэффициентов исходной системы (A/b) сводится к треугольной матрице (A’/b’) последовательными элементарными преобразованиями:

1). Первая строка матрицы (А/b) умножается на (-2) и на (-5) и прибавляется соответственно ко второй и третьей строке.

2). Вторая строка умножается на 1/7.

3). К третьей строке прибавляем вторую, умноженную на (-17).

Треугольная система, соответствующая матрице (A’/b’) имеет вид:


Откуда единственное решение системы находится следующим образом: x3= –1;из второго уравнения x2=1+x3=0;из первого уравнения x1=–3+3x2 – 4x3=1.

Таким образом, тройка чисел (1;0;-1) является решением исходной системы линейных уравнений, что можно легко проверить подстановкой.

Пример 2. Решите систему уравнений:

Решение.


Последней строке матрицы (A’/b) соответствует уравнение эквивалентной системы , которое не имеет решений.

Ответ: решений нет.


III. Закрепление пройденного материала. Работа в группах.

Задание. Решить систему уравнений методом Гаусса.

Номер группы

Задание. Решить систему уравнений методом Гаусса.

Ответ

1

1.(3,2,1)

2. решений нет

2

  1. (0;2;-3)

  2. (-2;0;1;-1)

3

1.(11;-2;-3)

2.(1;1;1;1)

4

1.(2;-2;2;-1)

2.

(11;7;-5;4;-1)




Закрепление пройденного материала. Самостоятельная работа.


Вариант 1

Вариант 2

1. Решить систему уравнений методом Гаусса.

а)

Ответ: (1 ; -1; 2)

а)

Ответ: нет решений

б)

Ответ

б)

Ответ ( -1; -1; -1; -1; -1)


IV. Подведение итогов урока. Рефлексия.
Выбери вариант соответствующий твоим ощущениям после сегодняшнего занятия.
1. Я все знаю, понял и могу объяснить другим!
2. Я все знаю, понял, но не уверен, что смогу объяснить другому.
3. Я сам знаю, понял, но объяснить другому не смогу.
4. У меня остались некоторые вопросы.

V. Домашняя работа.
Решить системы уравнений методом Гаусса:

Ответ: бесконечное множество решений.

.



VI. Список использованной литературы

1 . http://www.mathprofi.ru/metod_gaussa_dlya_chainikov.html

  1. http://ru.wikipedia.org/wiki/

  2. http://mathserfer.com/theory/pyartli1/node54.html



Здесь представлен конспект к уроку на тему «Системы линейных уравнений. Метод Гаусса», который Вы можете бесплатно скачать на нашем сайте. Предмет конспекта: Алгебра (9 класс). Также здесь Вы можете найти дополнительные учебные материалы и презентации по данной теме, используя которые, Вы сможете еще больше заинтересовать аудиторию и преподнести еще больше полезной информации.

Список похожих конспектов

Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Графический метод решения линейных уравнений

Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Графический метод решения линейных уравнений

Урок алгебры в 7 классе на тему: "Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Графический метод решения линейных уравнений". Цели урока:. ...
Методы решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными

Методы решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными

План- конспект урока алгебры в 7 классе по теме: «Методы решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными». Орг. момент, сообщение ...
Системы двух линейных уравнений с двумя переменными

Системы двух линейных уравнений с двумя переменными

МОДЕЛЬ УРОКА. . Системы двух линейных уравнений с двумя переменными как математические модели реальных ситуаций__________________________________________. ...
Системы линейных уравнений с двумя переменными

Системы линейных уравнений с двумя переменными

Предмет:.  алгебра. Тема:.  "Системы линейных уравнений с двумя переменными». Продолжительность:.  1 урок, 30 минут. Класс:.  7 класс. Дата:. ...
Системы двух линейных уравнений с двумя переменными

Системы двух линейных уравнений с двумя переменными

Урок. . алгебры. . в. 7. классе. . по. . теме. «Системы двух линейных уравнений с двумя переменными». Урок подготовила и провела:. . ...
Системы линейных уравнений с двумя переменными

Системы линейных уравнений с двумя переменными

МКОУ «Петуховская средняя общеобразовательная школа №1». "Системы линейных уравнений с двумя переменными". , 7 класс. Г. Петухово. ...
Графический метод решения систем уравнений с двумя переменными

Графический метод решения систем уравнений с двумя переменными

Общеобразовательная школа. I. -. III. ступеней №5. Симферопольского городского совета Республики Крым. Конспект урока по алгебре. ...
Виды уравнений. Методы решения уравнений

Виды уравнений. Методы решения уравнений

ГАОУ НПО Профессиональный лицей № 59. Оренбургская область, Красногвардейский район, с. Плешаново. Виды уравнений. Методы решения уравнений. ...
Задачи, решаемые составлением системы уравнений

Задачи, решаемые составлением системы уравнений

9 класс алгебра. Тема урока. : « Задачи, решаемые составлением системы уравнений». Учебно-воспитательные задачи:. 1). Сформировать модель алгоритма ...
Системы уравнений

Системы уравнений

Белёнова Мария Сергеевна. . ГБОУ СОШ №1149. Урок на тему «Системы уравнений». Решите рациональным способом. . При решении учащиеся ...
Системы уравнений с двумя переменными

Системы уравнений с двумя переменными

Аттестуемый педагог (ФИО) Толмачева Галина Николаевна. Предмет: алгебра. . Класс: 9 Б. Тема урока: Системы уравнений с двумя переменными. Цель ...
Системы уравнений второй степени

Системы уравнений второй степени

Конспект урока алгебры, проводимого в 9 кл,. . по теме: «Системы уравнений второй степени». Учитель: Щёкина Н.А. Тема урока: «Решение ...
Система нелинейных уравнений с двумя переменными

Система нелинейных уравнений с двумя переменными

ГУ «Средняя школа №115 отдела образования акимата города Костаная». Конспект урока по алгебре. в 9 классе. «Система ...
Решение задач составлением системы уравнений

Решение задач составлением системы уравнений

Муниципальное общеобразовательное учреждение общеобразовательная школа №53. пос. Октябрьский Люберецкий район Московская область. . . ...
Системы двух уравнений с двумя неизвестными

Системы двух уравнений с двумя неизвестными

Муниципальное казённое образовательное учреждение. «Средняя общеобразовательная школа № 1». Конспект урока алгебры в 7 классе. ...
Решение систем линейных уравнений с двумя переменными

Решение систем линейных уравнений с двумя переменными

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА В 7 КЛАССЕ. Решение систем линейных уравнений с двумя переменными. 1. ФИО. . . Рунова Лилия Александровна. . 2. ...
Решение систем нелинейных уравнений с двумя переменными

Решение систем нелинейных уравнений с двумя переменными

Тема урока: «Решение систем нелинейных уравнений с двумя переменными». Класс:. 9класс. Предмет:. алгебра. Тип:. Урок обобщения и систематизации ...
Решение систем линейных уравнений способом сложения

Решение систем линейных уравнений способом сложения

Муниципальное общеобразовательное учреждение. Пестравская средняя образовательная школа. Пестравского района Самарской области. ...
Решение систем линейных уравнений

Решение систем линейных уравнений

Разработка урока алгебры. с использованием. интерактивной доски. по теме:. «Решение систем линейных уравнений с двумя переменными». (7 класс). ...
Решение задач с помощью линейных уравнений

Решение задач с помощью линейных уравнений

Мелентьева Ольга Юрьевна. Шг№22 г. Астана. учитель математики. Тема: Решение задач с помощью линейных уравнений. Тип урока:. объяснение новой ...