Конспект урока «Понятие арккосинуса. Уравнение вида сosх = а» по алгебре для 10 класса

Разработчик материала:

Матвеева Мария Викторовна

учитель математики

ГБОУ ШИ «Олимпийский резерв»

Программированный урок для 10 класса по теме:

Понятие арккосинуса. Уравнение вида сosх = а.

Как и при решении обычных уравнений, решение тригонометрических уравнений сводится к умению решать простейшие уравнения.

Определение: Уравнение называется тригонометрическим, если неизвестное стоит под знаком тригонометрических функций.

Простейшими тригонометрическими уравнениями являются: сosх = а, sinх = а, tgх = а.

Каждое из них имеет свою формулу для решения. Единственное, что нужно четко запомнить - это, то, что при их решении получается бесконечно много корней.

Но можно и узнать конкретные решения.

Выпиши в теоретическую тетрадь: определение и примеры.

Для того чтобы научится решать первое простейшее тригонометрическое уравнение, нужно познакомиться с таким понятием, как арккосинус числа.

Следует отметить, что число, для которого рассматривается арккосинус, принадлежит промежутку [-1; 1].

Определение: Арккосинусом числа а[-1; 1] (обозначается arccos a) называется такое число α[0; π], косинус которого равен а. То есть cos (arccos a) = а.

Например, arccos (-1) = π; так как cos π= -1

arccos = , так как cos =

Таким образом, арккосинус есть обратная функция к косинусу.

Выпиши в теоретическую тетрадь: определение и примеры.

На самом деле, найти значение arccos можно легко воспользовавшись до боли нам знакомой таблицей значений тригонометрических функций.

При нахождении arccos необходимо задавать себе такой вопрос, при каком значении cos равен ? И смотреть в таблицу. Ответ: «при 45° или в радианной мере ».

Следует запомнить, что значение арккосинуса принято записывать только в радианной мере. Поэтому следует запомнить соответствие градусной и радианной меры углов.

Если число, от которого необходимо найти арккосинус отрицательное, то чтобы его найти необходимо, воспользоваться формулой:

arccos (-а) = π - arccos а.

Например, arccos (= π = .

arccos (= π = .

Выпиши в теоретическую тетрадь: формулу и примеры.

Реши задания по учебнику с. 168 № 568 – 570.

Решение тригонометрического уравнения вида cos х = а сводится к использованию формулы:

х = ±

Эту формулу можно проиллюстрировать на рисунке 68 стр. 165 по учебнику. Откройте учебник.

На чертеже видно, что на оси косинусов отмечена точка . Прямая проведенная вертикально через эту точку, показывает, что косинус для значений I и VI четвертей совпадает.

Но как мы можем получить эти углы, когда будем поворачивать точку? Да именно в I четверти на «+» угол, а в VI четверти на «-». Отсюда и получается знак «±». То есть соs и cos совпадают.

Выпиши в теоретическую тетрадь: формулу и рисунок из учебника с пояснениями.

Разберем решение тригонометрического уравнения на примере:

соs х =

х = ± (посмотреть значение по таблице)

х = ±

Ответ: х = ±

Выпиши в теоретическую тетрадь: решение уравнения с пояснениями.

Так как корней получается бесконечное количество, то в заданиях иногда просят найти конкретные значения корней, например принадлежащие промежутку [0; ], то есть I четверти или промежутку [0; 90°].

Эти задания очень часто встречаются в ЕГЭ. Их можно найти путем подстановки вместо n конкретных чисел (для помощи тебе выделено цветом ).

Например, рассмотрим решение нашего уравнения х = ±

1.Пусть n =0. Тогда х = ± ± , то есть х₁ = + и х₂ = .

Из этого видно, что получается 45° и - 45°. Из этих двух чисел, только одно принадлежит промежутку [0; 90°], то есть I четверти. Только число + .

2.Пусть n =1. Тогда х = ± ± ,

то есть х₁ = + и х₂ = ,

х₁ = = и х₂ = =

Из этого видно, что получается х₁ = 405° и х₂ = 315°. Значит, ни одно из чисел не принадлежит I четверти, то есть промежутку [0; 90°]. Поэтому в ответ их записать нельзя.

Выпиши в теоретическую тетрадь: способ нахождения конкретных корней (принадлежащих конкретному промежутку) тригонометрического уравнения.

Например 1 , решите уравнение соs х = и найдите корни, принадлежащие промежутку [].

Первое, что необходимо сделать это просто решить уравнение по формуле и на время забыть про промежуток.

соs х =

х = ± (посмотреть значение по таблице)

х = ±

Второе, нужно определиться с четвертью, которой должны принадлежать корни.

это промежуток от 90° до 180°. Значит, это II вторая четверть.

Третье, нужно подставить конкретные значения n (для помощи тебе выделено цветом ).

1. Пусть n=0.

Тогда, х = ± = ± , то есть х₁= и х₂ = . Если перевести в градусную меру, то х₁ принадлежит I четверти, а х₂ - IV четверти. А наша четверть II. Поэтому нужно подставить другое значение n.

2.Пусть n=1.

Тогда, х = ± = ± , то есть

х₁ = + и х₂ = ,

х₁ = = и х₂ = =

х₁ = 420° и х₂ = 300°

Ответ: х = ±

Например 2, решите уравнение соs х = .

соs х =

х = ± (посмотреть значение по таблице, но в таблице нет таких значений, поэтому вычислить значение не предоставляется возможным).

Ответ: х = ±

Выпиши в теоретическую тетрадь: пример 2 с пояснениями.

В случае если косинус равен отрицательному числу, необходимо использовать другую формулу при решении уравнения:

х = ±

Выпиши в теоретическую тетрадь: формулу корней тригонометрического уравнения, если число отрицательное.

Разберем решение тригонометрического уравнения на примере:

соs х =

х = ± (посмотреть значение по таблице)

х = ±

х = ±

х = ±

Ответ: х = ±

Выпиши в теоретическую тетрадь: решение уравнения с пояснениями.

Найти корнем уравнения, которые принадлежат конкретному промежутку можно таким же способом, как и в первом случае.

Реши задания по учебнику: с. 169 №571, 572.

Не всегда уравнения бывают такими простыми, есть уравнения разной степени сложности.

Например, 3. Решите уравнение 2соs 3х = .

соs 3х = (необходимо разделить обе части уравнения на число, которое стоит перед косинусом)

3х = ± (посмотреть значение по таблице)

3х = ± (сейчас необходимо разделить обе части на число, стоящее перед х)

3х:3 = ± (знак деления можно записать в виде дробной черты)

= ± (можно сократить и перемножить)

х = ±

Ответ: х = ±

Например, 4. Решите уравнение соs х = ,5

соs х = ,5

Решить такое уравнение не представляется возможным, так как значение косинуса находится в промежутке [-1; 1].

Ответ: нет решений.

Выпиши в теоретическую тетрадь: примеры с пояснениями.

Реши задания по учебнику: с. 169 №573.