Презентация "Задачи поддержки принятия решений (ЗПР)" по математике – проект, доклад

Задачи поддержки принятия решений (ЗПР)

Теоретико-игровые модели

Задачи поддержки принятия решений

ЗПР в условиях определенности (1)

ЗПР при неконтролируемых параметрах (2)

Принцип осреднения параметров (3) Принцип гарантированного результата (4) Определение 1. Пусть , тогда вариационным расширением (ВР) задачи (2) будем называть следующую задачу (5)

Пример

Игра «Государство-Предприниматели» Целевая функция центра: Целевая функция предпринимателей: x – предпринимательская прибыль (0≤ x ≤ xmax); k – доля прибыли, отчисляемая в качестве налогов (0≤ k ≤ 1); φ(x,δ) – предпринимательские риски.

Вариационное расширение:

Пример игры 2-х лиц с совпадающими интересами при асимметрии информированности

Целевая функция (6) при условиях (7)

Игры n лиц

Определение 2. Ситуация является равновесной по Нэшу, если для всех справедливо неравенство: Предположим Тогда задача (6), (7) примет вид:

Задачи поддержки принятия решений при асимметрии информированности

w=(w1,w2,…,wm) – случайный вектор с функцией распределения Φ(w) множество Im={1,2,…,m} – индексы компонент вектора w множество Si  Im – совокупность индексов, определяющих информационную структуру i- ой решающей функции, iIn={1,2,…,n} x=(x1,x2,…,xn) – вектор управления, где xi=xi(di), di=(wj), jSi. Таким образом, задача примет вид: Ji (x)=M[Fi (x(w),w)]→max, iIn (8) xiXi условие разной информированности приводит к отсутствию соответствующей переменной :

Вариационное расширение

Игра в нормальной форме: (9)

Необходимые условия оптимальности

Функция Лагранжа: Уравнение Эйлера: Условие трансверсальности: (10)

Игра двух лиц при асимметрии информированности

(11) (12)

Утверждение 1 Пусть компоненты случайного вектора w есть независимые случайные величины, тогда равновесие по Нэшу задачи (12) при условиях (11), и a11, b22  0 достигается на линейных по своим переменным функциях и , где a11 и b22 элементы матриц A и B соответственно.

(13)

Утверждение 2 Решение задачи (12) при условиях (11), в концепции равновесия Нэша существует и единственно, если выполняются условия:

Задача стимулирования в активных системах

Обозначим – действие i-го АЭ, – множество активных элементов. z = Q(y), где z –результат деятельности АЭ, входящих в систему. Пусть индивидуальные затраты i-го АЭ будут Функцию стимулирования для i-го АЭ обозначим тогда, целевая функция i-го АЭ примет вид: Целевая функция центра будет выражаться как разность между результатом деятельности системы и суммарными затратами на стимулирование:

Ограничения . а) функция непрерывна по всем переменным; б) , не убывает по ; в) ; г) ; Функции стимулирования кусочно-непрерывные и принимают неотрицательные значения. Целевая функция центра непрерывна по всем переменным и достигает максимума при не нулевых действиях агентов.

Задача стимулирования в активных системах с разной информированностью АЭ

Обозначим – действие i-го АЭ, – множество АЭ z = Q(u), где z –результат деятельности АЭ, входящих в систему. Пусть индивидуальные затраты i-го АЭ будут Для оценки затрат будем использовать усредненное значение: где – математическое ожидание. Функцию стимулирования для i-го АЭ обозначим тогда, целевая функция i-го АЭ примет вид: Целевая функция центра будет выражаться как разность между результатом деятельности системы и суммарными затратами на стимулирование:

Ограничения . ,где а) функция , является неубывающей по , если и выполнено неравенство ; б) затраты i-го АЭ не убывают по ; в) ; г) ; Функционалы стимулирования кусочно-непрерывные и принимают неотрицательные значения. Целевая функция центра непрерывна по всем переменным и достигает максимума при не нулевых действиях агентов.

Пусть ситуация равновесия в игре

, тогда является ситуацией равновесия для игры

Задача стимулирования в случае квадратичной структуры

Выпишем функции Лагранжа , : где – множители Лагранжа. Уравнение Эйлера: Условие трансверсальности: Отсюда система уравнений Эйлера путем несложных преобразований сводится к интегральному уравнению Фредгольма: где , , , ,

Рассмотрим задачу стимулирования второго рода в АС с двумя АЭ, имеющими функции затрат: где – некоторый параметр, – оценка квалификации АЭ. Пусть функция дохода центра Фонд заработной платы ограничен величиной R (глобальное ограничение) Центр использует систему стимулирования: Задача центра сводится к поиску оптимальных реализуемых действий:

Пример задачи стимулирования второго рода

Задачу (6) решим с помощью метода множителей Лагранжа. Выпишем функцию Лагранжа: где – множитель Лагранжа, . Необходимые условия: , решения не существует , решение существует и имеет вид: и ,решение будет следующим:

Матрица вторых производных: Выпишем главные миноры матрицы : В обоих точках достигается максимум функции, найдем значения данной функции в точках (10) и (11) и сравним их: Абсолютный максимум достигается в первой точке.

Рассмотрим задачу стимулирования второго рода в АС с двумя АЭ, имеющими функции затрат: , где – некоторый параметр, – оценка квалификации АЭ, Пусть функция дохода центра Фонд заработной платы ограничен величиной R (глобальное ограничение) Центр использует систему стимулирования: Задача центра сводится к поиску оптимальных реализуемых действий: Разная информированность АЭ:

Пример задачи стимулирования второго рода при разной информированности активных элементов

Для решения задачи воспользуемся методом множителей Лагранжа: где – множитель Лагранжа, . Необходимые условия: Обозначим: Отсюда система () путем несложных преобразований сводится к интегральному уравнению: где , , ,

Применим метод моментов для решения интегрального уравнения Фредгольма: Пусть в качестве линейно независимой системы возьмем следующую: Возьмем , , и отрезок . Рассмотрим систему (i=1,2,3), где , , . Откуда решение уравнения () имеет вид: