Презентация "Понятие логического высказывания" по математике – проект, доклад

Основы логики

Как человек мыслит? Что в нашей обыденной речи является высказыванием, а что – нет? Предложение «Кто последний?» - высказывание или нет? Арифметическое умножение и логическое умножения. В чем сходство и различие?

В основе современной логики лежат учения, созданные еще древнегреческими мыслителями, хотя первые учения о формах и способах мышления возникли в Древнем Китае и Индии. Основоположником формальной логики является Аристотель, который впервые отделил логические формы мышления от его содержания.

Аристотель родился в Стагире (384г. до н.э.), греческой колонии, расположенной на северо-западном побережье Эгейского моря. Его отец Никомах, принадлежавший к роду врачей Асклепиадов, был придворным врачом Аминты III - македонского царя.

Логика – это наука о формах и способах мышления. Это учение о способах рассуждений и доказательств.

Понятие – это форма мышления, которая выделяет существенные признаки предмета или класса предметов, позволяющие отличать их от других.

Пример 1. Прямоугольник, компьютер, книга, проливной дождь.

Высказывание – это формулировка своего понимания окружающего мира. Высказывание является повествовательным предложением, в котором что - либо утверждается или отрицается.

Пример 2 Истинное высказывание: «Буква «ю» - гласная». Ложное высказывание: «Компьютер был изобретен в середине XIX века».

Какие из предложений являются высказываниями? Определите их истинность. Какой длины эта лента? Прослушайте информацию. Делайте утреннюю зарядку! Назовите устройства вывода информации. Кто сегодня отсутствует? Париж- столица Канады. Число 11 является составным. 4+5=9 Сложите числа 2 и 5. Некоторые медведи живут на севере. Все медведи белые. Чему равно расстояние от Москвы до Ленинграда.

Умозаключение – это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений может быть получено новое суждение (знание или вывод). Пример 3 Дано высказывание: «Все углы равнобедренного треугольника равны». Получить высказывание «Этот треугольник равносторонний» путем умозаключений. Пусть основанием треугольника является сторона с. Тогда, а=b. Так как в треугольнике все углы равны, следовательно, основанием может быть любая другая сторона, например а. Тогда b=c. Следовательно, a=b=c. Треугольник равносторонний.

Алгебра – это наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые выполняются не только над числами, но и над другими математическими объектами, в том числе и над высказываниями. Такая алгебра называется алгеброй логики. Алгебра логики отвлекается от смысловой содержательности высказываний и принимает во внимание только истинность или ложность высказывания.

Поскольку основы алгебры логики были заложены в трудах английского математика Джорджа Буля (ХIХ век),

то алгебра логики получила название булевой алгебры.

Дж. Буль

Логическая переменная – это простое высказывание, содержащее только одну мысль. Её символическое обозначение – латинская буква (например, A,B,X,Y и т. д). значением логической переменной могут быть только константы ИСТИНА и ЛОЖЬ (0 и 1).

Составное высказывание – логическая функция, которая содержит несколько простых мыслей, соединенных между собой с помощью логических операций. Ее символическое обозначение – F(A,B,…).

Логические операции – логические действия. Базовые логические операции – конъюнкция, дизъюнкция, и отрицание и дополнительные – импликация и эквивалентность.

Примеры.

Устимкина Л.И., ББСШ №1

Если составное высказывание (логическую функцию) выразить в виде формулы, в которую войдут логические переменные и знаки логических операций, то получится логическое выражение, значение которого можно вычислить. Значением логического выражения могут быть только ЛОЖЬ или ИСТИНА. При составлении логического выражения необходимо учитывать порядок выполнения логических операций, а именно: 1) действия в скобках; 2) инверсия, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность

Пример 4. Записать в виде логического выражения следующее высказывание: «Летом Петя поедет в деревню и, если будет хорошая погода, то он пойдет на рыбалку». Проанализируем составное высказывание. оно состоит из следующих простых высказываний: «Петя поедет в деревню», «Будет хорошая погода», «Он пойдет на рыбалку», обозначим их через логические переменные: А= Петя поедет в деревню; В = Будет хорошая погода; С = Он пойдет на рыбалку. Запишем высказывание в виде логического выражения, учитывая порядок действий. Если необходимо, расставим скобки: F=A& (B→C).

Упражнение 2 Есть два простых высказывания: А - «Число 10 – четное»; В - «Волк травоядное животное». Составьте из них все возможные составные высказывания и определите их истинность.

Ответ:

Упражнение 3 Запишите следующие высказывания в виде логических выражений. Число 13 нечетное и двузначное. Неверно, что корова хищное животное. На уроке информатики ученики выполняли. практическую работу и сообщали результаты учителю. Если число делится на 2, то оно четное. Если Маша сестра Саши, то Саша – брат Маши. Водительские права можно получать тогда и только тогда, когда тебе исполнится 18 лет. Компьютер выполняет вычисления, если он включен.

Упражнение 4 Даны высказывания: А - «р делится на 5» и В- «р- нечетное число». Найти множество значений р при которых результат а) логического сложения и б) логического умножения будет: 1) истинным; 2) ложным.

Ответ: 1. а) (15, 17, 20, ..), б) (15, 25, 35, 45,…). 2. а) (5, 10, 17, 6,..), б) (15, 20, 45,..)

Упражнение 5 Составьте и запишите истинные сложные высказывания из простых с использованием логических операций. Неверно, что 10>Y>5 и Z<0. 2. А является max(A,B,C). 3. Все числа X,Y,Z равны 12. 4. Любое из чисел X,Y, Z отрицательно.

Упражнение 6 Найдите значение логических выражений: F=(0v0)v(1v1) 2. F=(1v1)v(1v0) 3. F=(0&0)&(1&1) 4. F= ¬1&(1v1)v(¬0&1)

(ответ: 1) (ответ: 1) (ответ: 0) (ответ: 1)

Домашнее задание Выучить основные определения, знать обозначения. Задача 1 Из двух простых высказываний постройте сложное высказывание, используя логические связки «И», «ИЛИ». Запишите логические высказывания с помощью логических операций и определите их истинность. Андрей старше Светы. Наташа старше Светы. Один десятый класс идет на экскурсию в музей. Второй десятый класс идет в театр. На полке стоят учебники. На полке стоят справочники. Часть детей – девочки. Остальные – мальчики.

Задача 2 Для логических выражений сформулируйте составные высказывания на обычном языке: (Y>1и Y<3) или (Y<8 и Y>4) (X=Y) и(X=Z) Не (X<0) или (XA) или (X>B) Приведите примеры составных высказываний из приведенных ниже школьных предметов и запишите их с помощью логических операций: 1) биология 2) география 3) алгебра 4) информатика 5) литература 6) геометрия 7) русский язык