Презентация "Выпуклые многогранные углы" по математике – проект, доклад

ВЫПУКЛЫЕ МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ

Многогранный угол называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой, т. е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит и соединяющий их отрезок.

На рисунке приведены примеры выпуклого и невыпуклого многогранных углов.

Теорема. Сумма всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°.

ВЫПУКЛЫЕ МНОГОГРАННИКИ

Многогранник угол называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой, т. е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит и соединяющий их отрезок.

На рисунке приведены примеры выпуклой и невыпуклой пирамиды.

Куб, параллелепипед, треугольные призма и пирамида являются выпуклыми многогранниками.

СВОЙСТВО 1

Свойство 1. В выпуклом многограннике все грани являются выпуклыми многоугольниками.

Действительно, пусть F - какая-нибудь грань многогранника M, и точки A, B принадлежат грани F. Из условия выпуклости многогранника M, следует, что отрезок AB целиком содержится в многограннике M. Поскольку этот отрезок лежит в плоскости многоугольника F, он будет целиком содержаться и в этом многоугольнике, т. е. F - выпуклый многоугольник.

СВОЙСТВО 2

Действительно, пусть M - выпуклый многогранник. Возьмем какую-нибудь внутреннюю точку S многогранника M, т. е. такую его точку, которая не принадлежит ни одной грани многогранника M. Соединим точку S с вершинами многогранника M отрезками. Заметим, что в силу выпуклости многогранника M, все эти отрезки содержатся в M. Рассмотрим пирамиды с вершиной S, основаниями которых являются грани многогранника M. Эти пирамиды целиком содержатся в M, и все вместе составляют многогранник M.

Свойство 2. Всякий выпуклый многогранник может быть составлен из пирамид с общей вершиной, основания которых образуют поверхность многогранника.

Упражнение 1

На рисунке укажите выпуклые и невыпуклые плоские фигуры.

Ответ: а), г) – выпуклые; б), в) – невыпуклые.

Упражнение 2

Всегда ли пересечение выпуклых фигур является выпуклой фигурой?

Ответ: Да.

Упражнение 3

Всегда ли объединение выпуклых фигур является выпуклой фигурой?

Ответ: Нет.

Упражнение 4

Можно ли составить выпуклый четырёхгранный угол с такими плоскими углами: а) 56о, 98о, 139о и 72о; б) 32о, 49о, 78о и 162о; в) 85о, 112о, 34о и 129о; г) 43о, 84о, 125о и 101о.

Ответ: а) Нет; б) да; в) нет; г) да.

Упражнение 5

На рисунке укажите выпуклые и невыпуклые многогранники.

Ответ: б), д) – выпуклые; а), в), г) – невыпуклые.

Упражнение 6

Может ли невыпуклый многоугольник быть гранью выпуклого многогранника?

Упражнение 7

Может ли сечением выпуклого многогранника плоскостью быть невыпуклый многоугольник?

Упражнение 8

Нарисуйте какую-нибудь невыпуклую призму.

Упражнение 9

Нарисуйте какую-нибудь невыпуклую пирамиду.

Упражнение 10

Приведите пример невыпуклого многогранника, у которого все грани являются выпуклыми многоугольниками.