Конспект урока «Понятие о системах счисления» по математике для 8 класса

Етова Юлия Вячеславовна

Учитель информатики

ГБОУ Центр Образования №1469, город Москва

Понятие о системах счисления.

Цели и задачи:

Образовательные:

1. понимать суть определения систем счисления;

2. уметь классифицировать;

3. приводить примеры систем счисления;

4. уметь представлять числа с разными основаниями.

Развивающие:

1. развивать умения выделять главное, существенное, обобщать полученные знания;

2. развивать информационную и алгоритмическую культуру;

3. развивать аналитические умения;

4. развивать у учащихся ответственность при работе в коллективе.

5. Развитие речи: обогащение и усложнение словарного запаса.

Воспитательные:

1. воспитывать познавательный интерес к предмету;

2. воспитывать активность, самостоятельность и аккуратность в работе.

Трехуровневые задачи урока

Тип урока: Урок изучения нового материала.

Формы работы учащихся: индивидуальная.

Необходимое техническое оборудование: компьютерный класс, мультимедиа проектор, экран, презентация Power Point к уроку, приложение к уроку.

Ход урока

1. Подготовка к восприятию нового материала.

На доске эпиграф к уроку: «Все есть число», говорили пифагорейцы, подчеркивая необычайно важную роль чисел в практической деятельности.

Ребята, давайте ответим на вопрос: «Когда у людей появилась потребность считать и записывать результаты полсчета?»

Молодцы, возникает следующий вопрос: «Во всех странах считают одинаково?»

Правильно во всех странах существует свой способ представления чисел. В любом случае число изображается группой символов некоторого алфавита. Будем называть такие символы цифрами, символическое изображение чисел – кодами, а правила получения кодов – кодированием или системами счисления.

Таким образом, возникает определение:

Система счисления – это способ записи чисел в виде, удобном для прочтения и выполнения арифметических операций.

2. Объяснение нового материала.

Первоначально количество предметов отображали равным количеством, каких – нибудь значков: насечек, точек, черточек. Изучение археологами таких «записок» времен палеолита показало, что люди стремились группировать отметки по 3, 5, 7, 10 штук. Как вы думаете почему? Какая группировка использовалась чаще всего?

Такая группировка облегчала счет. Естественно, что первыми вычислительным инструментом человека были пальцы, поэтому и счет чаще всего вели группами по 5 или по 10 предметов.

Какие системы счисления вам известны? Какими мы пользуемся?

А какими знаками пользовались Древние Римляне? Давайте вместе с вами сформируем алфавит:

Давайте выпишем вместе первые 11 чисел:

Правило: если меньший знак ставится впереди, то он вычитается, если сзади – складывается.

Какое число записано: ?

Как вы думаете, есть ли ограничения для римской системы счета?

1. Невозможность записывать дробные и отрицательные числа.

2. Ограниченность алфавита.

3. Не удобство выполнения арифметических действий.

На доске записаны числа: . Чем они отличаются?

Значение цифры в записи числа не зависит от позиции (в римской системе счисления).

Таким образом, имеем определения:

Система счисления, в которой от положения знака в записи числа не зависит величина, которую он обозначает, называется непозиционной системой счисления.

В позиционной системе счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием позиционной системы счисления.

Недостатки римской системы счисления привели к созданию новой системы – арабской. Она носит название арабской системы счисления, так как араб по происхождению Мухаммад ибн Муса аль Хорезми в конце века написал книгу «Арифметика индусскими цифрами», где описывалась десятичная система счисления и арифметические операции с десятичными числами. Именно из этой книги в веке переведенной на латынь европейцы научились десятичному счету. Аль Хорезми показал запись и обосновал почему должны выглядеть цифры именно так:

Сегодня десятичными числами выражаются время, номера домов и телефонов, цены, бюджет, на них базируется система мер. Арифметические действия над десятичными числами производятся с помощью достаточно простых операций, в основе которых лежат известные каждому школьнику таблицы умножения и сложения, а также правило переноса: если в результате сложения двух цифр, получается число, которое больше или равно 10, то оно записывается с помощью двух цифр, находящихся на соседних позициях.

Изучаемые в самом раннем возрасте, эти правила в результате повседневной практики усваиваются уже так прочно, что мы оперируем ими уже подсознательно. По этой причине сегодня многие люди даже не догадываются о существовании других систем счисления.

Кроме десятичной истории цивилизации известны многие другие позиционные системы счисления, в том числе двадцатеричная и шестидесятеричная системы счисления.

Где мы можем увидеть остатки шестидесятеричной системы? (делим час на 60 минут, а минуту – на 60 секунд).

Широкое распространение до первой трети 20 века имели элементы двенадцатеричной системы счисления.

При этом число 12 даже составляло конкуренцию десятке в борьбе за почетный пост основания общеупотребительной системы счисления. Дело в том, что число 12 имеет больше делителей, чем 10. Поэтому в двенадцатеричной системе счисления гораздо удобнее производить расчеты, нежели в десятичной. неудивительно, что в 19 веке среди математиков раздавались голоса за полный переход на эту систему. И только возможность счета по пальцам рук склонила чашу весов. Тем не менее дюжина достаточно прочно вошла в нашу жизнь: в сутках две дюжины часов, час делится на пять дюжин минут, круг содержит тридцать дюжин градусов, фут делится на двенадцать дюймов. Влияние двенадцатеричной системы ощущается сегодня хотя бы в том, что карандашей , фломастеров обычно в наборе бывает 6, 12, 24 и т.д.

Давайте попробуем сформулировать основные достоинства позиционной системы счисления на примере арабской, наиболее близкой нам.

1. Простота выполнения арифметических операций

2. Ограниченное число символов, необходимое для записи любого числа

3. Удобна и экономична для записи чисел

У позиционных систем существует следующая характеристика:

Основание системы счисления – количество цифр данной системы счисления.

Алфавит – все символы системы.

Основание показывает, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении ее на соседнюю позицию.

Например:

Как легко заметить, цифры 5 имеют различные количественные значения, так как находятся на разных позициях. При перемещении цифры на соседнюю позицию ее вес (числовой эквивалент) изменяется на 10.

Как вы думаете, основанием может быть только число 10?

Позиционных систем счисления очень много, так как за основание системы можно принять число не меньшее 2.

Обратим внимание на плакат:

Обратим внимание на таблицу алфавитов позиционных систем счисления. Что общего?

Основание системы счисления говорит о количестве символов в алфавите, причем эти символы находятся в пределах основания.

3. Закрепление изученного материала.

1. Определите числовой эквивалент цифры 6 в числах:

1. 6789

2. 2682

3. 16

4. 96?

Ответы:

1. 1000

2. 100

3. 10

4. 1

2. Запишите числа с основанием 10:

1. 765

2. 9321

3. 67

4. 123

5. 8888

Ответы:

Аналогично

3. Запишите числа с основанием 8:

1. 564

2. 7231

3. 60513

Ответы:

Аналогично

4. Домашнее задание.

1. Запишите числа с основанием 10:

1. 965

2. 50264

3. 10001

4. 805020

5. 222

2. Запишите числа с основанием 5:

1. 143

2. 321

3. 14

4. 34

3. Запишите год, число и месяц своего рождения с помощью римских цифр.

4. Придумайте свою непозиционную систему счисления.

5. Подведение итогов.

Приложение.

Схема заполняется в процессе урока, поэтому должна быть у каждого учащегося.

Системы счисления

Определение

Виды

Интернет - ресурсы

1. http://s44.radikal.ru/i105/0903/b7/9bfba334d32f.jpg - теория возникновения арабских цифр

2. «Подготовка к ЕГЭ», Самылкина Н.Н., Издательство «Бином», 2010.