Конспект урока «Кодирование числовой информации» по информатике для 10 класса

Учитель информатики Змиевская Татьяна Николаевна

МБОУ «ССОШ №1 им. А. П. Павлова»

Технологическая карта урока

Ход урока

1. Постановка целей урока.
   - Сколько кодов чисел может быть в компьютере?
   - Почему вещественные числа называются числами с плавающей запятой?
   - Какое самое большое число может запомнить компьютер?

2. Изложение нового материала.

Числовая информация была первым видом информации, который начали обрабатывать ЭВМ, и долгое время она оставалась единственным видом. Поэтому не удивительно, что в современном компьютере существует большое разнообразие типов и представлений чисел. Прежде всего, это целые и вещественные числа, которые по своей сути и по представлению в машине различаются очень существенно. Целые числа, в свою очередь, делятся на числа со знаком и без знака, имеющие уже не столь существенные различия. Целые числа хранятся в памяти компьютера в формате с фиксированной запятой. Вещественные числа в формате с плавающей запятой.

Мы с вами будем рассматривать типы чисел в порядке увеличения их сложности.

1. Целые числа без знака.

Хотя в математических задачах не так часто встречаются величины, не имеющие отрицательных значений, беззнаковые типы данных получили в ЭВМ большое распространение. Главная причина состоит в том, что в самой машине и программах для нее имеется много такого рода объектов: прежде всего, адреса ячеек, а также всевозможные счетчики (количество повторений циклов, число параметров в списке или символов в тексте). К этому списку стоит добавить числа, обозначающие дату и время, размеры графических изображений в пикселях. Всё перечисленное выше всегда и во всех программах принимает только целые и неотрицательные значения.

Для хранения чисел в памяти отводится определенные количество разрядов, в совокупности представляющих собой к–разрядную сетку. Обычно целые числа занимают в памяти ЭВМ 1,2, или 4 байта. Поэтому легко вычислить диапазон чисел, которые можно хранить в такой разрядной сетке.

Алгоритм представления целого числа без знака в памяти компьютера

1. Перевести число в двоичную систему счисления.

2. Нарисовать к–разрядную сетку.

3. Записать число в разрядную сетку, начиная с младшего разряда.

4. Заполнить оставшиеся разряды нулями.

Пример1.Представить число 21₁₀ в однобайтовой разрядной сетке.

1. Переведем число 21₁₀ в двоичную систему счисления 10101₂

2. Нарисуем однобайтовая разрядную сетку

номер разряда

3. Запишем число в разрядную сетку, начиная с младшего разряда

   7

   6	5	4	3	2	1	0
   			1	0	1	0	1

4. Заполним оставшиеся разряды нулями

3. Целые числа со знаком

Добавление отрицательных значений приводит к появлению некоторых новых свойств. Ровно половина из всех 2^N чисел теперь будут отрицательными; учитывая необходимость нулевого значения, положительных будет на единицу меньше, т.е. допустимый диапазон значений оказывается принципиально несимметричным.

Для того чтобы различать положительные и отрицательные числа, в двоичном представлении чисел выделяется знаковый разряд. Для кодирования знака используется самый старший бит, причем нулевое значение в нем соответствует знаку "+", а единичное – «-». Подчеркнем, что с точки зрения описываемой системы кодирования число ноль является положительным, т.к. все его разряды, включая и знаковый, нулевые.

Диапазон целых чисел со знаком

а) Целые числа со знаком «+»

Представление положительных чисел при переходе от беззнаковых чисел к целым со знаком сохраняется, за исключением того, что теперь для собственно числа остается на один разряд меньше.

Алгоритм представления целого числа со знаком плюс в памяти компьютера

1. Перевести число в двоичную систему счисления.

2. Нарисовать к–разрядную сетку.

3. Указать код знака «+» в старшем разряде.

4. Записать число в разрядную сетку, начиная с младшего разряда.

5. Заполнить оставшиеся разряды нулями.

Пример 2. Представить число +25₁₀ в двухбайтовой разрядной сетке

1. Переведем число 25₁₀ в двоичную систему счисления 11001₂

2. Нарисуем двухбайтовая разрядную сетку

   15

   14	13	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0

3. Укажем код знака «+» в старшем разряде

   15

   14	13	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
   0

4. Запишем число в разрядную сетку, начиная с младшего разряда

   15

   14	13	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
   0											1	1	0	0	1

5. Заполним оставшиеся разряды нулями

б) Целые числа со знаком «-»

Предположим что, кодировать отрицательные значения можно точно так же, как и положительные, только добавлять в старший бит единицу. Подобный способ кодирования называется прямым кодом. Несмотря на свою простоту и наглядность, для представления целых чисел он не получил применения в ЭВМ. Главной причиной является то, что, хотя сам код прост, действия над представленными в нем числами выполняются достаточно сложно. Поэтому для практической реализации кодирования отрицательных чисел используется другой метод. В его основе лежит запись отрицательных чисел в виде

2^N - |А|

где N - количество двоичных разрядов, А – значение числа. Поскольку фактически вместо числа теперь записывается его дополнение до некоторой характерной величины 2^N, то такой код назвали дополнительным. Дополнительный код позволяет заменить арифметическую операцию вычитания операцией сложения, что существенно упрощает работу процессора и увеличивает его быстродействие.

Алгоритм представления целого числа со знаком минус в памяти компьютера

1. Перевести модуль числа в двоичную систему счисления.

2. Записать число в прямом коде в n двоичных разрядах.

3. Получить обратный код числа, для этого значения всех битов инвертировать (все единицы заменить на нули и все нули заменить на единицы).

4. Найти дополнительный код числа, прибавив к обратному коду единицу.

5. Нарисовать к–разрядную сетку.

6. Записать число в разрядную сетку.

Пример 3. Представить число -25₁₀ в двухбайтовой разрядной сетке

1. Переведем число 25₁₀ в двоичную систему счисления 11001₂

2. Запишем число в прямом коде в 16 двоичных разрядах
   0 000 000 000 011 001

3. Получим обратный код числа, для этого значения всех битов инвертировать (все единицы заменить на нули и все нули заменить на единицы).
   1 111 111 111 100 110

4. Найдем дополнительный код числа, прибавив к обратному коду единицу

1 111 111 111 100 110

+ 1

1 111 111 111 100 111

5. Запишем число в разрядную сетку.

4. Вещественные числа

Формат чисел с плавающей запятой базируется на экспоненциальной форме записи, в которой может быть представлено любое число.

A = (±m) * q ^±n ,

где m - мантисса числа. q – основание системы счисления, n – порядок числа.

Представление числа в форме с плавающей точкой неоднозначно. Например, справедливы следующие равенства: 25,324 = 2,5324 • 10¹ = 0,0025324 • 10⁴ = 2532,4 • 10^-2 и т. п. В компьютере используют нормализованное представление числа в форме с плавающей точкой. Мантисса в нормализованном представлении должна удовлетворять условию: 0,1т 1. Иначе говоря, мантисса меньше единицы и первая значащая цифра — не ноль.

В памяти компьютера мантисса представляется как целое число, содержащее только значащие цифры (0 целых и запятая не хранятся). Следовательно, внутреннее представление вещественного числа сводится к представлению пары целых чисел: мантиссы и порядка.

Число в формате с плавающей запятой занимает в памяти компьютера 4 (число обычной точности) байта или 8 (число двойной точности) байт.

Диапазон изменения чисел определяется количеством разрядов, отведенных для хранения порядка числа, о точность (количество значащих цифр) определяется количеством разрядов, отведенных для хранения мантиссы. При записи числа выделяются разряды для хранения знака порядка, порядка, знака мантиссы, мантиссы.

Четырехбайтная разрядная сетка:

Формат числа

Алгоритм представления вещественного числа в памяти компьютера

1. Перевести число в двоичную систему счисления

2. Записать число с n значащими цифрами (количество разрядов отводимое для хранения мантиссы).

3. Нормализовать представление числа.

4. Нарисовать к–разрядную сетку.

5. Записать код знака порядка и мантиссы в старший разряд байтов, отводимых для хранения порядка и мантиссы.

6. Записать порядок в разрядную сетку, начиная с младшего разряда.

7. Записать мантиссу в разрядную сетку, начиная с младшего разряда.

8. Заполнить оставшиеся разряды нулями.

Пример 4. Представить число 250,1875 в формате с плавающей запятой в четырехбайтной разрядной сетке.

1. Переведем число 250,1875 в двоичную систему счисления
   250,1875₁₀ = 11111010, 0011₂

2. Запишем число с 23 значащими цифрами.
   11111010, 001100000000000₂

3. Нормализовать представление числа.

0, 11111010001100000000000₂*10¹⁰⁰⁰

4. Нарисовать к–разрядную сетку.

5. Записать код знака порядка и мантиссы в старший разряд байтов, отводимых для хранения порядка и мантиссы.

0

6. Записать порядок и мантиссу в разрядную сетку, начиная с младшего разряда.

0

7. Заполнить оставшиеся разряды нулями.

0

3. Закрепление изученного материала.

Вопросы для закрепления

1. Каковы форматы представления чисел в памяти компьютера?

2. Компьютер работает только с целыми положительными числами. Каков диапазон изменения чисел, если для представления числа в памяти компьютера отводится 1 байт?

3. Каков диапазон изменения целых чисел (положительных и отрицательных), если в памяти компьютера для представления целого числа отводится 1 байт?

4. Компьютер работает только с целыми положительными числами. Каков диапазон изменения чисел, если для представления числа в памяти компьютера отводится 4 байта?

5. Каков диапазон изменения целых чисел (положительных и отрицательных), если в памяти компьютера для представления целого числа отводится 4 байта?

6. Какова форма представления вещественных чисел?

7. Что такое мантисса и нормализованная мантисса?

8. Для представления вещественного числа отводится 8 байт. Порядок занимает 11 битов. Сколько значащих цифр будет содержать двоичная мантисса?

Задания для закрепления

В каком формате и в какой форме хранится в памяти компьютера следующие числа

1. 15₁₀

2. +302₁₀

3. -175₁₀

4. 217,934₁₀

5. 0,001289₁₀

5. Домашнее задание

Уровень знания

1. Какие форматы представления чисел в памяти компьютера вам известны?

2. Назовите интервалы изменения целых чисел различных форматов.

3. Какова форма представления вещественных чисел: что такое мантисса и нормализованная мантисса?

Уровень понимания

Решите задачи: В каком формате и в какой форме хранится в памяти компьютера следующие числа: 26; +26; -26; 26,26.

Уровень применения

В псевдокопьютере для представления вещественных чисел используется двухбайтовая разрядная сетка. Количество разрядов, используемых для записи порядка и мантиссы, одинаковы. Число, превышающее максимальное значение, представимое в таком компьютере вызывает переполнение. Определить для псевдокомпьютера три числа, которые вызовут переполнение.

Литература

1. Угринович Н. Информатики и информационным технологиям, 10-11 класс, М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2003

2. Угринович Н., Босова Л., Михайлова Н. Практикум по информатике и информационным технологиям, М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2003

3. Андреева Е., Фалина И. Информатика: Системы счисления и компьютерная арифметика. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 1999

4. Толстых Г.Д. Представление чисел: от абака до компьютера. / Информатика и образование, 1998, N 1

5. Еремин Е.А., Шестаков А.П. Материалы для подготовки к устной итоговой аттестации по информатике в 11-м классе."Информатика", 2003, N 11, с.4-13.