Презентация "Применение Формулы Пика" по математике – проект, доклад

Применение Формулы Пика

Выполнил: Парфенов Александр ученик 8 «Б» класса МБОУ «Лицей №124» Учитель: Скрылева Н.Н.

Георг Пик

Формула Пика была открыта австрийским математиком Георгом Пиком в 1899г.

Краткая Биография.

Георг Алекса́ндр Пик (10 августа 1859 — 13 июля 1942) — австрийский математик, родился в еврейской семье. Мать — Йозефа Шляйзингер, отец — Адольф Йозеф Пик. Георга, который был одарённым ребёнком, обучал отец, возглавлявший частный институт. В 16 лет Георг закончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику. Шестнадцатого апреля 1880 года под руководством Лео Кёнигсбергера Пик защитил докторскую диссертацию «О классе абелевых интегралов». В Немецком университете в Праге в 1888 году Пик получил место экстраординарного профессора математики, затем в 1892-м стал ординарным профессором. В 1900—1901 годах занимал пост декана философского факультета. С его именем связаны матрица Пика, интерполяция Пика — Неванлинны, лемма Шварца — Пика. 13 июля 1942 года Пик был депортирован в созданный нацистами в северной Чехии лагерь Терезиенштадт, где умер две недели спустя в возрасте 82 лет.

Формула Пика

В-количество целочисленных точек внутри многоугольника. Г-количество целочисленных точек на границе многоугольника.

S=В+Г/2-1

Формула выполняется, если вершины многоугольника находятся в точках целочисленной решётки.

Доказательство Теоремы Пика.

Центральное место в наших рассуждениях будет занимать следующий факт. Если два данных многоугольника с вершинами в точках целочисленной решетки составляют один многоугольник, то соответствующие им числа R1 и R2 связаны с числом R для многоугольника, составленного из двух данных, равенством R = R1+R2

Сначала заметим, что формула Пика верна для единичного квадрата. Действительно, в этом случае мы имеем В=0, Г=4, S=В+Г/2-1=1

Рассмотрим прямоугольник со сторонами, лежащими на линиях решетки. Пусть длины его сторон равны a и b. Имеем в этом случае В= (a-1)(b-1), Г= 2a+2b, по формуле Пика S= (a-1)(b-1)+a+b-1 = ab

Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник с катетами, лежащими на осях координат. Такой треугольник получается из прямоугольника со сторонами a и b, рассмотренного в предыдущем случае, разрезанием его по диагонали. Пусть на диагонали лежат целочисленных точек. Тогда для этого случая а−1 В= ?−1 , Г= Г=2?+2? 2 +с-1 и получаем, что S=a*b/2

Теперь рассмотрим произвольный треугольник. Его можно получить, отрезав от прямоугольника несколько прямоугольных треугольников и, возможно, прямоугольник (см. рисунки). Поскольку и для прямоугольника, и для прямоугольного треугольника формула Пика верна, мы получаем, что она будет справедлива и для произвольного треугольника.

Решётки. Узлы.

Узлы на гранях многоугольника – Зелёные.(Б) Внутренние узлы многоугольника – Оранжевые (Г)

Для многоугольника на рисунке В=23 (желтые точки), Г=7(Синие точки), поэтому S=В+Г/2-1=23+2,5=25,5 квадратных единиц.

Пример.

Задачи №1

Найдите площадь четырёхугольника АВСD

Решение. По формуле Пика: S = В +Г/2-1

В = 5, Г = 7 S = 5 + 7/2 – 1 = 7,5 (см²) Ответ: 7,5 см².

№2

Найдите площадь лесного массива (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 × 1(см) в масштабе 1 см – 200 м

Решение. Найдём S четырёхугольника, изображенного на клетчатой бумаге по формуле Пика: В+Г/2-1

В = 8, Г = 7. S

= 8 + 7/2 – 1 = 10,5 (см²) 1 см² - 200² м²; S = 40000 · 10,5 = 420 000 (м²) Ответ: 420 000 м²