Тема урока: Применение графических и геометрических методов при решении текстовых задач. (11 класс)

Цели:

• Обучающая: научить решать текстовые задачи по алгебре, применяя графическое изображение условия задачи, научить заменять алгебраическое решение чисто геометрическим или интеграцией графического метода, метода подобия треугольников и метода уравнений.

• Развивающая: развивать функциональную грамотность учащихся, применяя полученные знания в нестандартных ситуациях; сообразительность.

• Воспитывающая: воспитать волю и настойчивость при достижении поставленной задачи; привить любовь к математике и процессу поиска интересных и простых решений.

Оборудование: технические средства – персональный компьютер, презентация к графическому диктанту; слайд№1, слайд №2, слайд №3,проектор; раздаточный материал: 1.Оценочный лист ;

2. Условия задач 1,2,3 и домашнего задания 1,2,3.

Структура урока.

Этап урока

Ход урока

1. Организационный момент.

Перед уроком учитель раздаёт оценочные листы на парту каждому ученику.

Здравствуйте! Как вы думаете, важно ли, быть внимательным на уроке?

А как вы считаете, что должен делать человек, по словам великого Рене Декарта, чтобы «нам было легче сосредотачивать внимание нашего ума”? (Версии учеников). Впишите варианты ваших ответов в оценочный лист.

Рене Декарт, в своем труде “ Правила для руководства ума” специально выделял правило о том, что “полезно чертить… фигуры и преподносить их внешним чувствам, для того чтобы таким образом нам было легче сосредотачивать внимание нашего ума”. Давайте представим, что эти слова знаменитого математика обращены именно, к нам и предназначены именно, для сегодняшнего урока. Так давайте, не откажемся от обращений Великого человека, и примем эту информацию, как руководство к дальнейшим действиям.

Кроме того, в помощь к «сосредоточению внимания ума» мы будем на протяжении всего урока работать с оценочным листом.

2. Актуализация опорных знаний.

Графический диктант. (Повторить материал тем: линейная функция и её график, признаки подобия треугольников, свойства пропорции).

«Сосредоточение внимания нашего ума», мы с вами начнем с выполнения графического диктанта. Он позволит нам вспомнить всю необходимую к новому уроку информацию, а так же определить тему и цель урока. Напоминаю, что суть графического диктанта заключается в следующем: Вам зачитывается вопрос или некоторое математическое утверждение, если вы готовы дать ответ «да» или согласиться с предложенным утверждением, изобразите в тетради горизонтальный отрезок клетки. Если ваш ответ «нет» или вы не согласны с предложением, изобразите горизонтальный отрезок клетки. В итоге, вы должны получить непрерывную ломаную.

Презентация №1

1 Если некоторый объект движется с постоянной скоростью, то зависимость перемещения объекта от времени, можно выразить линейной функцией.

2 В формуле S=V∙t, величина V-это объем.

3 По рисунку можно увидеть, что скорость движения равна 60 км/ч.

S (км)

300

240

180

120

60 t(ч)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4 Две различные непараллельные секущие, проведенные к паре параллельных прямых, образуют подобные треугольники.

5 Треугольники подобны, если три стороны одного треугольника, на α больше трех сторон другого треугольника.

6 Пропорция - это равенство двух частных.

7 В верной пропорции можно менять местами крайние или средние члены.

8 Применяя основное свойство к пропорции = , получим равенство ах=ву.

Проверка правильности ответов. «Если ваши ответы не совпадают с шаблоном правильной кривой, повторите дома самостоятельно «проблемные темы»».

Поднимите руки те, чьё изображение совпало с шаблоном правильной ломаной.

А теперь те, у кого нет ни одного правильного ответа.

(Дать формативную оценку работы с графическим диктантом).

Запишите количество правильных ответов в оценочный лист.

3. Вызов.

   1. Проверка домашнего задания.

(Чан наполняется водой при помощи двух кранов А и В. Наполнение чана только с помощью крана А длится на 22 минуты дольше, чем наполнение через кран В. Если же оба крана открыть одновременно, то чан наполнится водой за 1 час. За какое время может наполнить водой чан только кран В?)

Кто желает назвать ответ и способ решения домашней задачи? (Дать формативную оценку предложенных ответов).

3.2 Решение домашней задачи с применением метода подобия треугольников.

А теперь познакомимся с ещё одним из способов решения домашней задачи. Внимание на экран.

(Учитель предлагает рассмотреть решение домашней задачи, с помощью изображения условия задачи на чертеже, комментирует изображение, анализирует и объясняет получение и составление уравнения).

Слайд 1

Рассмотрим рисунок. На нем АА1 и BВ1 – графики зависимости выполненного объема работы от времени наполнения чанов водой кранами А и В соответственно.

По условию задачи ВК = АN = 1 час = 60 минут. В1М = 22 минуты. Используем подобие треугольников:

ΔBКО подобен ΔВ1NO, тогда BK/NB1 = KO/ON; 60/x = KO/ON.

ΔKOA1 подобен ΔNOA, тогда KA1/AN = KO/ON; (x + 22)/60 = KO/ON.

Таким образом, имеем пропорцию 60/x = (x + 22)/60.

Перепишем в виде квадратного уравнения:

х² + 22х – 3600 = 0;

х = 50 или х = -72.

По смыслу задачи х = 50 минут.

Таким образом, АВ1 = AN + NВ1 = 60 + 50 = 110 (минут).

Ответ: 110 минут.

3.3 Формулировка темы и цели урока

Вспомните вопросы графического диктанта, учтите при этом предложенный способ решения домашней задачи и попробуйте сформулировать тему урока. (Формулируем тему урока и записываем её в тетрадь и оценочный лист).

Какие способы решения текстовых задач вы применили при решении домашней задачи? (арифметический или алгебраический). А как вы думаете, для чего мы рассматриваем ещё один способ решения задач? Действительно, способ, который мы рассмотрим на этом уроке, и на мой взгляд, весьма эффективен, поскольку помогает заменить громоздкие решения задач на работу и движение, более простыми. Основное преимущество геометрического метода в его наглядности. Это позволяет увидеть то, что в алгебраическом методе скрыто за аналитическими выкладками. Кроме того, выполненный рисунок позволяет рассуждать, делать выводы. А значит, применение его, позволит сократить время выполняя заданий ЕНТ.

Запишите цели урока в оценочный лист.

3. Осмысление.

   1. Решение задач.

При обсуждении работает весь класс. Решение задачи излагает и оформляет решение учитель, задавая наводящие вопросы по ходу работы с изображением.

№1 Из двух городов навстречу друг другу вышли одновременно два скорохода. После встречи один был в пути 16 минут, а другой - 9 минут. Сколько времени был в пути каждый?

Изобразим зависимость перемещения от времени движения каждого из скороходов в координатной плоскости. Слайд 2.

Введем необходимые, для доказательства подобия треугольников обозначения, и нанесем данные задачи на чертеж.

S(км)

В х К 16 С

О

А х М 9 D t(мин)

А теперь, как говорили древние математики – индусы, “Смотри!”:

Из подобия треугольников (треугольники ВКО и ДМО, и треугольники СКО и АМО подобны по двум углам с одним и тем же коэффициентом подобия) следует пропорция.

Обозначим время движения каждого скорохода до встречи через х.

Из подобия треугольников имеем

х/16 = 9/х;

х² = 144;

х = 12

12 мин. – время движения каждого до встречи.

12 + 16 = 28 мин.- время движения первого.

12 + 9 = 21 мин. – время движения второго.

Ответ: 21 мин, 28 мин.

Дайте оценку предложенного способа решения задачи исходя из критериев: как наглядно, как сложно составляется и решается уравнение.

№2 Теплоход из Нижнего Новгорода до Астрахани идет 5 суток, а от Астрахани до Нижнего Новгорода 7 суток. Сколько дней будет плыть плот от Нижнего Новгорода до Астрахани? Слайд 3.

S(км)

А D M F

K

Г 5 А₁ В С t(ч)

При обсуждении работает весь класс. Затем одному из учеников предлагается записать решение на доске, остальные ученики решают задачу в тетрадях. Сравнивается ответ. Делаются выводы.

ГА₁ = 5 (дней) А₁С = 7 (дней)

Обозначим А₁В = t время движения теплохода из А до встречи с плотом, v-собственная скорость лодки и v_{т –} скорость течения реки.

АГ = ВК + КМ ВК=(5+ t) v_{т ,} МК= t(v- v_т), АГ=5(v+ v_т)

5(v+ v_т) =(5+ t) v_т + t(v- v_т)

5v+5v_т=5v_т+t v_т+tv- t v_т

t=5

Т.е. теплоход, двигаясь из А, встретит плот через 5 дней.

Получаем ГВ=10, ВС=7-5=2, DМ=5, МF=y

∆ГКВ ∆ FKM; ∆ СВК ∆ DМК

= ;

y = 25 = MF.

AF = AM + MF = 10 + 25 = 35.

Ответ: 35 суток.

Дайте оценку предложенного способа решения задачи исходя из критериев оценивания предыдущей задачи. Какими они были? ( как наглядно, как сложно составляется и решается уравнение).

Решение задачи в группах.

Разбейтесь на четыре группы. Выберите лидера группы-человека, который сможет помочь всем членам своей группы и при необходимости помочь группе, у которой возникнут трудности. А также изберите спикера группы, ученика способного доступно объяснить решение задачи и отвечать на вопросы спикеров других групп по решению задачи.

Основная цель работы каждой группы - решить задачу. В качестве индивидуальной работы для групп (при последующем совместном обсуждении решения) определим следующие виды работ: первая группа объясняет построение чертежа; вторая наносит на чертеж данные задачи и вводит неизвестные; третья группа рассматривает и доказывает подобие треугольников; четвертая объясняет составление уравнения и его решения.

№3. Из пункта А в пункт В отправились одновременно пешеход и велосипедист. Велосипедист, доехав до пункта В, повернул обратно и встретил пешехода через 20 мин после отправления из А. Доехав до А, он опять повернул и догнал пешехода через 10 минут после встречи. Через какое время пешеход придет в В?

B K Х M Е

P(х)

W(х)

T

S

O

А 20 H 10 R D

Пусть p(x) – зависимость пройденного пешеходом пути от времени х, w(x) – велосипедистом. Построим графики этих соответствий на координатной плоскости.

Время, за которое пешеход пройдет путь АВ равно длине отрезка AD. Таким образом, задача сводится к нахождению длины отрезка AD. По условию АН=20, HR=10, тогда AR=AH+HR=10+20=30. Рассмотрим треугольники ASH и ATR. Они подобны как прямоугольные треугольники с общим острым углом. Из подобия следует равенство: == .

Подобие треугольников AKS и TSO, дает отношение = ,следовательно =, значит точка Т-середина отрезка ОМ (ОМ=АК). Из вышесказанного следует, что треугольники АТО и ЕМТ, по второму признаку, т.е. АТ=ТЕ. Равны так же и треугольники АТR и ЕТХ, по гипотенузе и острому углу и АR=ХЕ=30, AD=AR+RD=30+30=60 мин.

Ответ: 1 ч.

Дайте оценку работы лидеров и спикеров групп, с точки зрения качества, доступности, рациональности предложенного решения.

3. Рефлексия.

   1. Дифференцированное домашнее задание.

Для выполнения домашнего задания вы можете выбрать задачу №1 с готовым чертежом,

Изучить изображение, составить уравнение и решить его, при этом вы получите только отметку 3.

Задание 1. Двое рабочих, выполняя некоторое задание вместе, могли бы справиться с ним за 12 дней. Если сначала будет работать только один из них, а когда он выполнит половину всей работы, его сменит второй рабочий, то  все задание будет выполнено за 25 дней. За какой срок, работая один, второй рабочий сможет выполнить все задание?

Если вы хотите получить отметку четыре, дополните решение задачи №1, решением задачи №2.

Задание 2. Два пешехода вышли одновременно из двух сел А и В навстречу друг другу. После встречи первый пешеход шел 25 минут до села В, а второй шел 36 минут до села А. Сколько минут они шли до встречи?

Для получения отметки 5, решите задачу №1 и №3(более сложную).

Задание 3. Из пункта А в пункт В вышел пешеход. Вслед за ним через 2 ч из пункта А выехал велосипедист, а еще через 30 мин – мотоциклист. Пешеход, велосипедист и мотоциклист двигались равномерно и без остановок. Через некоторое время после выезда мотоциклиста оказалось, что к этому моменту времени все трое преодолели одинаковую часть пути от А до В. На сколько минут раньше пешехода в пункт В прибыл велосипедист, если пешеход прибыл в пункт В на 1 ч позже мотоциклиста?

5.2 Подведение итогов.

Сделайте вывод. (Благодаря объединению алгебраического и геометрического методов, математические знания предстают перед вами как “живая”, динамическая система, способная решать любые задачи.)

Оцените свою работу на уроке (по традиционной, пятибальной системе), исходя из того, как успешно вы строили чертеж к задаче, как быстро находили условия, для составления пропорций, как быстро вы решали полученные уравнения. Запишите свою оценку в «оценочный лист». В последнюю ячейку листа самооценки поставьте, ещё один из знаков: «+», если вы планируете использовать рассмотренный сегодня способ, при решении задач на ЕНТ, и « - », если вы по- прежнему, будете решать подобные задачи алгебраическим или арифметическим способом. Передайте оценочные листы преподавателю. Я ознакомлюсь с тем, как вы оценили задачи, при необходимости дам некоторые рекомендации к устранению ошибок, выставлю отметки лидеров и спикеров групп в журнал, посчитав среднюю из выставленных вами. Если вы недовольны своим результатом, то повторите дома темы: графики, подобие, решение уравнений, представленных в виде пропорций, и ещё раз просмотрите задачи, которые мы решали на уроке.

Урок окончен, всем спасибо!

Ниже, предложен раздаточный материал в форме, удобной для печати.

Раздаточный материал:

Для работы на уроке.

№1 Из двух городов навстречу друг другу вышли одновременно два скорохода. После встречи один был в пути 16 минут, а другой - 9 минут. Сколько времени был в пути каждый?

№2 Теплоход из Нижнего Новгорода до Астрахани идет 5 суток, а от Астрахани до Нижнего Новгорода 7 суток. Сколько дней будет плыть плот от Нижнего Новгорода до Астрахани?

№3. Из пункта А в пункт В отправились одновременно пешеход и велосипедист. Велосипедист, доехав до пункта В, повернул обратно и встретил пешехода через 20 мин после отправления из А. Доехав до А, он опять повернул и догнал пешехода через 10 минут после встречи. Через какое время пешеход придет в В?

Для домашнего задания.

Задание 1. Двое рабочих, выполняя некоторое задание вместе, могли бы справиться с ним за 12 дней. Если сначала будет работать только один из них, а когда он выполнит половину всей работы, его сменит второй рабочий, то  все задание будет выполнено за 25 дней. За какой срок, работая один, второй рабочий сможет выполнить все задание?

Если вы хотите получить отметку четыре, дополните решение задачи №1, решением задачи №2.

Задание 2. Два пешехода вышли одновременно из двух сел А и В навстречу друг другу. После встречи первый пешеход шел 25 минут до села В, а второй шел 36 минут до села А. Сколько минут они шли до встречи?

Для получения отметки 5, решите задачу №1 и №3(более сложную).

Задание 3. Из пункта А в пункт В вышел пешеход. Вслед за ним через 2 ч из пункта А выехал велосипедист, а еще через 30 мин – мотоциклист. Пешеход, велосипедист и мотоциклист двигались равномерно и без остановок. Через некоторое время после выезда мотоциклиста оказалось, что к этому моменту времени все трое преодолели одинаковую часть пути от А до В. На сколько минут раньше пешехода в пункт В прибыл велосипедист, если пешеход прибыл в пункт В на 1 ч позже мотоциклиста?

Оценочный лист деятельности на уроке. Ученика(Ф.И.)_________________________________________

Тема урока: ___________________________________________.

Цель урока: ____________________________________________________________________

1.

Как вы считаете, что должен делать человек, по словам великого Рене Декарта, чтобы «нам было легче сосредотачивать внимание нашего ума”?

2. Графический диктант.

   Впишите количество ваших правильных ответов.

3. Запишите тему и цели урока, в строки указанные выше.

4. Оцените решение задачи №1 (по пятибальной шкале).

   Наглядность условия ( да или нет).

   Сложность составления уравнения (да или нет).	Сложность решения уравнения (да или нет).

5. Оцените решение задачи №2 (по пятибальной шкале).

   Наглядность условия ( да или нет).

   Сложность составления уравнения (да или нет).	Сложность решения уравнения (да или нет).

6. Оцените решение задачи №3 (по пятибальной шкале).

   Оцените работу лидера своей группы.

   Спикер группы №1
   Спикер группы №2
   Спикер группы №3
   Спикер группы №4

7. Оцените свою работу на уроке (по пятибальной шкале).

   Построение чертежа (Учтите скорость и правильность построения).

   Рассмотрение подобия треугольников.
   Составление уравнения к задаче.
   Решение уравнения.
   Планируете ли дальнейшее использование на ЕНТ? ( +, -)

8. Рекомендации учителя ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.