Презентация "Центральная симметрия" по математике – проект, доклад

Центральная симметрия

Математик любит прежде всего симметрию. Джеймс Максвелл

А В О

Центральная симметрия.

Центральная симметрия – это отображение пространства на себя, при котором любая точка переходит в симметричную ей точку, относительно центра О. Точка О называется центром симметрии фигуры. Две точки А и В называются симметричными относительно точки О, если О - середина отрезка АВ. Точка О считается симметричной самой себе.

На рисунке точки М и М1, N и N1 симметричны относительно точки О, а точки Р и Q не симметричны относительно этой точки.

М М1 N N1 Р Q

Теорема. Центральная симметрия – движение.

Доказательство: Пусть при центральной симметрии с центром в точке О точки X и Y отобразились на X' и Y'. Тогда, как ясно из определения центральной симметрии, OX' = -OX, OY' = -OY. Вместе с тем XY = OY - OX, X'Y' = OY' - OX' Поэтому имеем: X'Y' = -OY + OX = -XY Отсюда выходит, что центральная симметрия является движением, изменяющим направление на противоположное и наоборот, движение, изменяющее направление на противоположное, есть центральная симметрия.

Y' Y X' X O

Свойство центральной симметрии: центральная симметрия переводит прямую (плоскость) в себя или в параллельную ей прямую (плоскость).

Центральная симметрия в прямоугольной системе координат.

Если в прямоугольной системе координат точка А имеет координаты (x0;y0), то координаты (-x0;-y0) точки А1, симметричной точке А относительно начала координат, выражаются формулами: x0 = -x0 y0 = -y0

у х 0 А(x0;y0) А1(-x0;-y0) x0 -x0 y0 -y0

Примеры из жизни.

Простейшими фигурами, обладающими центральной симметрией, является окружность и параллелограмм. Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма точка пересечения его диагоналей. Центральная симметрия встречается в форме воздушного и подводного транспорта (воздушный шар, парашют), архитектуре, технике, искусстве и быту. Центральная симметрия наиболее характерна для плодов растений и некоторых цветов(голубика, черника, вишня, цветок мать-и-мачехи, цветок кувшинки), а также для животных, ведущих подводный образ жизни (амёба).

Одним из самых красивых примеров центральной симметрии является снежинка. Центральную симметрию имеют многие геометрические тела. К ним следует отнести все правильные многогранники (за исключением тетраэдра), все правильные призмы с четным числом боковых граней, некоторые тела вращения (эллипсоид, цилиндр, гиперболоид, тор, шар).

Куб Октаэдр Икосаэдр Додекаэдр

Три различных гиперболоида

Примеры решения задач.

Дано: ABCD - параллелограмм, треугольники ABM, BCK, CDP, DAH - правильные Доказать: KPHM - параллелограмм Решение:

Рассмотрим центральную симметрию (поворот на 180 градусов) относительно точки O. Пусть f - центральная симметрия. f(B) = D, f(A) = C, f(D) = B, f(C) = A. При центральной симметрии f треугольник BCK (правильный) перейдет в равный ему треугольник DAH (правильный), по свойствам осевой симметрии (углы сохраняются). Аналогично треугольник AMB переходит в треугольник CPD.

f(M) = P, f(K) = H, отсюда KO = OH, MO = OP, по признаку параллелограмма, KPHM – параллелограмм.

Дано: угол ABC, точка D Построить отрезок с концами на сторонах данного угла, середина которого находилась бы в точке D Решение:

Построим точку B' симметричную точке B. Пусть D - центр симметрии, BD = DB'. Проведём прямую A'B', параллельную прямой BC и прямую B'C', параллельную прямой AB. Прямые A'B' и B'C' симметричны прямым ВС и AB соответственно относительно точки D.

Значит, точка A' симметрична точке C' относительно точки D. Отсюда следует, что A'D = DC'.