Презентация "Пирамида" по математике – проект, доклад

Пирамида

Подготовили : Асадова Ламия, Шимонаев Павел, Волкова Екатерина, Балыбин Артем, Олзоев Тимур

План

Определение Элементы пирамиды Свойства пирамиды Правильная пирамида Свойства правильной пирамиды Прямоугольная пирамида Поверхность пирамиды Формулы, связанные с пирамидой

Определение

Пирамида – это многоугольник А1А2…Аn и точка P, не лежащая в плоскости этого многоугольника и соединенная отрезками с вершинами многоугольника.

Элементы пирамиды

основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды. боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине пирамиды; боковые ребра — общие стороны боковых граней; вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания; высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра); апофема — высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды; диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;

Свойства пирамиды

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то : в основание пирамиды можно вписать окружность, причем вершина пирамиды проецируется в ее центр; высоты боковых граней равны;

Если все боковые ребра равны, то: около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр; боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы. также верно и обратное, то есть если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если в основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, а боковые ребра равны, то высота, опущенная из вершины пирамиды, проецируется на середину гипотенузы данного треугольника.

Правильная пирамида

Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Свойства правильной пирамиды

боковые ребра правильной пирамиды равны; в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники;

Прямоугольная пирамида

Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.

Поверхность пирамиды

Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней (т.е. основания и боковых граней). Площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.

Формулы, связанные с пирамидой

Чтобы определить площадь боковой поверхности пирамиды, надо найти сумму площадей всех её боковых граней:

? бок = ? ? ?

Еслипирамидаявляетсяправильной, то ? бок = 1 2 ??= ? 2 ? 2 sin ? ,

где a - апофема , P - периметр основания, n - число сторон основания, b - боковое ребро, ? — плоский угол при вершине пирамиды.

Теорема

Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению периметра основания на половину апофемы. Доказательство: Представим боковую поверхность этой пирамиды как сумму площадей равных равнобедренных треугольников. Если всех треугольников n, то боковая поверхность равна произведению периметра основания на половину апофемы.

? полн = ? осн + ? бок ?= 1 3 ? осн ℎ