Презентация "Примеры иррациональных уравнений" по математике – проект, доклад

Иррациональные уравнения

Урок алгебры и начал анализа 11 класс Учитель: Вязовченко Н.К.

© Vyazovchenko N.K. 2009 5klass.net

Цели урока

Ввести понятие иррациональных уравнений и показать способы их решений. Развивать умение выделять главное, существенное в изучаемом материале, обобщать факты и понятия, развивать самостоятельность, мышление, познавательный интерес. Содействовать формированию мировоззренческих понятий.

Устная работа

Упростить выражение:

Решите уравнения: а) б) в) г) д)

Тема урока

Определение

Иррациональными называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или под знаком операции возведения в дробную степень.

Устно:

Какие из следующих уравнений являются иррациональными? а) х + √ х = 2 б) х + √ х = 0 в) х √7 = 11+х г) у² - 3 √ 2 = 4 д) у + √ у²+9 = 2 е ) √ х – 1 = 3

Посторонние корни

Основными причинами появления посторонних корней является возведение обеих частей уравнения в одну и ту же чётную степень, расширение области определения и др. По этим причинам необходимой частью решения иррационального уравнения является проверка, либо использование области определения заданного уравнения.

Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень

Преобразовать обе части уравнения к виду 2. Возвести обе части в n-ую степень 3. Учитывая, что получаем: 4. Решить полученное уравнение и выполнить проверку (или ОДЗ)

Примеры

Если квадратных корней в иррациональном уравнении много, то приходится возводить в квадрат несколько раз:

Проверка

Метод замены переменной

Ввести новую переменную Решить уравнение, отбросить посторонние корни Вернуться к первоначальному неизвестному

Введение вспомогательной переменной в ряде случаев приводит к упрощению уравнения. Чаще всего в качестве новой переменной используют входящий в уравнение радикал. При этом уравнение становится рациональным относительно новой переменной.

Пример

Пусть тогда исходное уравнение примет вид:

У1 = -7, у2 = 6

Решая уравнение получим: Ответ: х = 3; х = - 4,5

В некоторых случаях можно сделать вывод о решении иррационального уравнения, не прибегая к преобразованиям. Например, уравнения не имеют решения.

Метод пристального взгляда

Этот метод основан на следующем теоретическом положении: “Если функция возрастает в области определения и число входит в множество значений, то уравнение имеет единственное решение.” Для реализации метода, основанного на этом утверждении требуется: Выделить функцию, которая фигурирует в уравнении. Записать область определения данной функции. Доказать ее монотонность в области определения. Угадать корень уравнения. Обосновать, что других корней нет. Записать ответ.

Пример 1

Наличие радикалов четной степени говорит о том, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Поэтому сначала найдем область допустимых значение переменной х

Очевидно, что левая часть уравнения не существует ни при одном значении неизвестного х. Таким образом, вопрос о решении уравнения снимается – ведь нельзя же осуществить операцию сложения в левой части уравнения, так как не существует сама сумма. Каков же вывод? Уравнение не может иметь решений, так как левая часть не существует ни при одном значении неизвестного х.

Пример 2

Рассмотрим функцию Найдем область определения данной функции:

Данная функция является монотонно возрастающей.

Для эта функция будет принимать наименьшее значение при , а далее только возрастать. Число 5 принадлежит области значения, следовательно, согласно утверждению . Проверкой убеждаемся, что это действительный корень уравнения..

Решение упражнений

№ 417 (а, б), 418 (а, б), № 419 (а, б), 422 (а, б)

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

п. 33 № 417 (в, г), 418 (в, г) № 419 (в, г), 422 (в, г)