Презентация "Уравнения" по математике – проект, доклад

Уравнения

Определения

Равенство с переменной g(x) = f(x) называется уравнением с одной переменной х. Всякое значение переменной, при котором f(x) и g(x) принимают равные числовые значения, называется корнем уравнения. Решить уравнение - это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Равносильные уравнения

Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными. Равносильными считаются и уравнения, у которых нет корней. Например, уравнения х + 2 = 5 и х + 5 = 8 равносильны; уравнения x2 + 5 = 0 и 3x2 + 1 = 0 равносильны, так как корней не имеют.

Теорема 1

Если в уравнении какое-нибудь слагаемое перенести из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 2

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Линейные уравнения

Линейным уравнением с одной переменной х называют уравнение вида ax = b, где a,b  R; а называют коэффициентом при переменной, b - свободным членом.

Три случая для линейного уравнения ax = b

1) а № 0; в этом случае корень равен b/a; 2) а = 0, b = 0; в этом случае уравнение принимает вид 0Ч х = 0, что верно при любом х, т. е. корнем уравнения является любое действительное число; 3) а = 0, b № 0; в этом случае уравнение принимает вид 0Ч х = b, оно не имеет корней.

Квадратное уравнение

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax2+bx+c=0, где a, b, с  R (a  0). Числа a, b, с носят следующие названия: a - первый коэффициент, b - второй коэффициент, с - свободный член.

Дискриминант

Выражение D=b2–4ac называется дискриминантом квадратного уравнения. Если а = 1, то квадратное уравнение вида x2+px+q=0 называется приведенным, а его дискриминант D=p2–4q.

Теорема 3: D  0

Если D  0, то квадратное уравнение имеет корни x1,x2R, причем если D = 0, то уравнение имеет два совпадающих корня, а если D > 0, то уравнение имеет два различных действительных корня, определяемых формулой:.

Теорема 3: D < 0

Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Корни приведенного уравнения

В случае приведенного квадратного уравнения и формулы корней имеют вид: