Презентация "Решение уравнений степень, которых больше двух. Решение уравнений" по математике – проект, доклад

Решение уравнений с одной переменной, степень которых больше двух.

Уравнения, решаемые методом разложения на множители.

Уравнения, сводящиеся к квадратным.

Разработка учителя математики Потёмкиной Натальи Борисовны Структурное подразделение ГOУ CОШ № 409 при ФГУ НИДОИ им. Г.И. Турнера,

Алгоритм

1. Разложить левую часть уравнения на множители. - вынесение за скобки общего множителя; - формулы сокращенного умножения; - способ группировки; - деление многочлена на многочлен. 2. Приравнять каждый множитель к нулю. - произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а все остальные при этом имеют смысл. 3. Решить каждое уравнение отдельно. 4. Записать ответ.

Вынести за скобки общий множитель

Пример 1 х³ – 9х = 0 х (х² - 9) = 0

Формула сокращенного умножения

х (х – 3)(х + 3) = 0

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а все остальные при этом существуют

х = 0 х – 3 = 0 х + 3 = 0 х = 3 х = - 3 Ответ: -3; 0; 3.

Пример 2 а³ - 2 – а + 2а² = 0

Применим способ группировки

(а³ - а) + (2а² – 2) = 0

Вынесение за скобки общего множителя

а (а² - 1) + 2 (а² - 1) = 0 (а² - 1) (а + 2) = 0

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю

а² - 1 = 0 а + 2 = 0 а1,2 = ±1 а = - 2 Ответ: - 2; -1; 1.

Пример 3 х³- 2х² - 5х + 6 = 0

Применить алгоритм деления многочлена на многочлен

(х – 1)(х – 3)(х + 2) = 0 х – 1 = 0 х – 3 = 0 х + 2 = 0 х = 1 х = 3 х = -2 Ответ: -2; 1; 3.

- найти общий множитель;

- вынести его за скобки.

Пример: ab + ac – ad = a (b + c – d)

Формулы сокращенного умножения

1.

Формула разности квадратов

а² – в² = (а – в) (а + в)

4а² – 25в² = (2а – 5в) (2а + 5в)

2.

Формула квадрата суммы

а²+ 2ав + в² = (а + в) ² = (а + в) (а + в)

а²+ 6ав + 9в² = ( а + 3в)² = (а + 3в) (а + 3в)

3.

Формула квадрата разности

а² - 2ав + в² = (а - в) ² = (а - в) (а - в)

4а² – 4ав + в² = (2а – в)² = (2а – в) ( 2а – в)

Способ группировки

применяется к многочленам, которые не имеют общего множителя для всех членов многочлена.

1. Объединить члены многочлена в группы, имеющие общий множитель.

2. Вынести общий множитель за скобки.

ав – 2с – вс + 2а = (ав – вс) + (2а – 2с) = = в (а – с) + 2 (а – с) = (а – с) (в + 2)

3. Найти целый корень многочлена Рп-1(х), если такой есть. (аналогично п.1)

Рп-1(х) : (х – х2) = Рп-2 (х)

Найти целый корень многочлена Рп(х), если такой есть.

- подставляя поочередно каждый делитель в многочлен Рп(х)

- выписать все делители свободного члена;

вместо переменной х, выяснить, при каком значении х Рп(х) = 0,

это значение х и будет корнем многочлена Рп(х).

Понизить степень этого многочлена.

- разделить многочлен Рп(х) на (х – х1), где х1 - корень многочлена

Рп(х) : (х – х1) = Рп-1 (х)

4. Понизить степень многочлена Рп-1(х)

- разделить многочлен Рп-1(х) на (х – х2), где х2 - корень многочлена

5. Повторять п.1 и п.2, пока не получим многочлен первой степени.

Р3(х) = х³- 2х² - 5х + 6

6 делится на -1; 1; -2; 2; -3; 3; -6; 6.

если х = -1, то Р3(-1) = (-1)³ - 2(-1)² - 5(-1) + 6 ≠ 0 х = -1 не является корнем уравнения

- Найти делители числа 6.

Найти целый корень многочлена Р3(х) = 0

если х = 1, то Р3(1) = 1³ - 2 . 1 – 5 . 1 + 6 = 0 х = 1 является корнем уравнения

- Понизить степень многочлена (разделить Р3(х) на (х – 1))

х³ - 2х² - 5х + 6 х - 1 х² - х - 6 х³ - х² - х² - 5х - х² + х - 6х + 6 0 Р2(х) = х² - х - 6

6 делится на 6; 3; 2; 1; -1; -2; -3; -6.

- Найти целый корень многочлена Р2(х) = 0

если х = 3, то Р2(3) = 3² - 3 – 6 = 0. Тогда х = 3 является корнем уравнения

- Понизить степень многочлена (разделить Р2(х) на (х – 3))

х - 3 х² - 3х 2х - 6 х + 2

Р3(х) = х³- 2х² - 5х + 6 = (х – 1)(х – 3)(х + 2)

Р3 (х) = (х – 1)(х² - х – 6)

Уравнения, сводящиеся к квадратным

биквадратные уравнения

сводящиеся к квадратным посредством введения новой переменной

дробно-рациональные уравнения

?

возвратные уравнения

*

Биквадратными уравнениями

ах4 + вх² + с = 0, где а ≠ 0.

называют уравнения вида

1. Заменить х² = t. 2. Решить квадратное уравнение аt² + bt + c = 0 относительно t. 3. Решить уравнения х² = t. 4. Записать ответ.

Пример. 4х 4- 5х² + 1 = 0 Заменим х на t ² Пусть х 2 = t, тогда 4t 2- 5t + 1 = 0

Решим квадратное уравнение

а = 4 Д = в2 – 4ас t = -в±√Д ; 2а t = - (-5)±√9 ; 2 .4 t = 1 ; 4 t = 1 Д = (- 5)2 – 4 . 4 . 1 Д = 9 > 0 два корня в = - 5 с = 1 то х 2 = 1 4 х 1,2 = ±√ 1 4 Х1,2 = ± 1 2 то х² = 1 Х1,2 = ± √ 1 Х1,2 = ± 1 Ответ: - 1 ; -1; 1 ; 1. 2 2 Если t = 1, Если t = 1 ; 4

Решим уравнение х² = t

Уравнения, сводящиеся к квадратным посредством введения новой переменной

(ax² + bx)² – c (ax² + bx) + d = 0

1. Найти в левой части уравнения дважды встречающиеся выражения (один раз в квадрате, другой раз в первой степени).

ax² +bx

2. Ввести новую переменную, подставив ее в уравнение вместо повторяющегося выражения.

ax² + bx = t t² - ct + d = 0

3. Решить квадратное уравнение относительно новой переменной . Найти t.

4. Решить уравнения ax² +bx = t.

5. Записать ответ.

Пример

(х² + 2 х + 4)²– 7 ( х² + 2 х + 4) + 12 = 0

Найдем дважды встречающееся выражение Введем новую переменную

Пусть х² + 2х + 4 = t, тогда

t² - 7 t + 12 = 0

Применим теорему обратную теореме Виета:

t1 + t2 = 7 t1 . t2 = 12 t1 = 3; t2 = 4

Решим уравнение х²+ 2х + 4 = t

Если t = 3, то х² + 2х + 4 = 3 х² + 2х + 1 = 0 х1 + х2 = - 2 х1 . х2 = 1 х1 = - 1 х2 = - 1 Если t = 4, то х²+ 2х + 4 = 4 х² + 2х = 0 х ( х + 2) = 0 х = 0 х = - 2 Ответ: - 2; - 1; 0.

Возвратные уравнения

ax4 + bx³+ cx² + dx + m = 0

от произвольного уравнения четвертой степени его отличает то, что крайние коэффициенты а и m связаны с коэффициентами b и d следующим соотношением

уравнения вида

Так как , обозначим , тогда

Уравнение примет вид.

аx 4 + bx³+ cx² + bex + ae² = 0

Объединить I и V , II и IV слагаемые. Разделить обе части уравнения на х² (х²≠0, т.к. m≠0 ). Вынести общие множители за скобки.

4.

Ввести новую переменную

тогда 5.

Сделать подстановку в уравнение из пункта 3 и решить получившееся квадратное уравнение.

Найдем у. 6.

Вернуться к уравнению

и решить его. 7. Записать ответ.

x 4 + 2x³ - 18x² - 10x + 25 = 0

Объединим I и V, II и IV слагаемые

(x 4 + 25) + (2x³ - 10x) - 18x² = 0

Разделим обе

части на х², вынесем общий множитель за скобки

Введем новую переменную

Пусть у = х – 5 , х у 2 = х 2 – 10 + 25 х х 2 + 252 = у 2 – 10 х следовательно 2 ,

Уравнение примет вид

у² + 10 + 2у – 18 = 0 у² + 2у – 8 = 0 у = 2 у = - 4 Если у = 2, то х – 5 = 2 х х = 1 + х = 1 - Если у = - 4, то х – 5 = - 4 х х = - 5 Ответ: - 5; 1 - ; 1 ; 1+

Вернемся к переменной х

(х² + 25 ) +2 (х – 5 ) – 18 = 0 х² х

Дробно – рациональные уравнения

Р1 (х) Q1 (x) Р 3(х) Q3 (x) Р2 (х) Q 2(x) + + … Рm (х) Q m(x) = 0

где Р1 (х); Р2 (х); Р3 (х); …; Рm (х); …; Q1(x); Q2 (x); Q3(x); …; Qm(x); … – многочлены от неизвестного х

1. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.

2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель.

3. Решить получившееся целое уравнение.

4. Исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.

х – 3 + 1 = х + 5__ х – 5 х х(х – 5)

Найдем общий знаменатель дробей

Общий знаменатель дробей х(х – 5)

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель

х(х – 3) + (х – 5) = х + 5

х² - 3х – 10 = 0

Упростим уравнение

Найдем корни квадратного уравнения

х = -2; х = 5.

Проверим, являются ли эти числа корнями исходного уравнения

Пусть х = -2, тогда -2(-2 – 5) ≠ 0 общий знаменатель х(х – 5) не обращается в ноль, значит число

5 не является корнем уравнения.

х – 5 х(х – 5)

Пусть х = 5, тогда 5(5 – 5) ≠ 0

- 2 является корнем уравнения

общий знаменатель х(х – 5) обращается в ноль,

выражения х – 3 и х + 5 теряют смысл.

Ответ: -2.