Презентация "Теорема Эйлера и ее применение" по математике – проект, доклад

Вершины, ребра и грани

Рассмотрим известные нам многогранники и заполним следующую таблицу, в которой В – число вершин, Р – число ребер, Г – число граней многогранника.

ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА

Из приведенной таблицы непосредственно видно, что для всех выбранных многогранников имеет место равенство В - Р + Г = 2. Оказывается, что это равенство справедливо не только для рассмотренных многогранников, но и для произвольного выпуклого многогранника. Впервые это свойство выпуклых многогранников было доказано Леонардом Эйлером в 1752 году и получило название теоремы Эйлера.

Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство В - Р + Г = 2, где В - число вершин, Р - число ребер и Г - число граней данного многогранника.

Задача о трех домиках и трех колодцах

Три соседа имеют три общих колодца. Можно ли провести непересекающиеся дорожки от каждого дома к каждому колодцу?

Ответ: Нет.

Упражнение 1

Выполняется ли соотношение Эйлера для невыпуклой призмы?

Ответ: Да.

Упражнение 2

Выполняется ли соотношение Эйлера для невыпуклой пирамиды?

Упражнение 3

Приведите пример многогранника, для которого не выполняется соотношение Эйлера.

Ответ: Например, куб, из которого вырезан прямоугольный параллелепипед.

Упражнение 4

Гранями выпуклого многогранника являются только треугольники. Сколько у него вершин и граней, если он имеет: а) 12 ребер; б) 15 ребер?

Ответ: а) В = 6, Г = 8; б) В = 7, Г = 10.

Упражнение 5

Из каждой вершины выпуклого многогранника выходит три ребра. Сколько он имеет вершин и граней, если число ребер равно: а) 12; б) 15?

Ответ: а) В = 8, Г = 6; б) В = 10, Г = 7.

Упражнение 6

Гранями выпуклого многогранника являются только четырехугольники. Сколько у него вершин и граней, если число ребер равно 12? Приведите пример такого многогранника.

Ответ: В = 8, Г = 6, куб.

Упражнение 7

В каждой вершине выпуклого многогранника сходится по четыре ребра. Сколько он имеет вершин и граней, если число ребер равно 12? Приведите пример такого многогранника.

Ответ: В = 6, Г = 8, октаэдр.

Упражнение 8

Чему равна эйлерова характеристика многогранника (В – Р + Г, где В – число вершин, Р – рёбер и Г – граней многогранника), представленного на рисунке?

Ответ: 0.

Упражнение 9

Как изменится число вершин, рёбер и граней выпуклого многогранника, если к одной из его граней пристроить пирамиду? Изменится ли В – Р + Г?

Ответ: Пусть пристроена n-угольная пирамида, тогда количество вершин станет (В+1), рёбер - (Р+n), граней - (Г+n). В – Р + Г не изменится.

Упражнение 10

Как изменится число вершин, рёбер и граней выпуклого многогранника, если от него отсечь один из многогранных углов? Изменится ли В – Р + Г?

Ответ: Пусть отсекли m-гранный угол, тогда количество вершин будет (В+m-1), рёбер - (Р+m), граней - (Г+1). В – Р + Г не изменится.