Презентация "Треугольники" по математике – проект, доклад

Треугольник геометрия 7 класс

Тот, кто не знает математики, не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить своего невежества, а потому не ищет от него лекарства. Роджер Бэкон, 1267г. Работа учителя математики МОУ лицея №3 Г.Кропоткина Краснодарского края Белич Е.В.

5klass.net

План

Понятие треугольника. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Классификация треугольников. Первый признак равенства треугольников. Второй признак равенства треугольников. Третий признак равенства треугольников. Тест .

Понятие треугольника

А,В,С- вершины треугольника АВ,ВС,АС- стороны треугольника АВ+ВС+АС=Р, где Р – периметр треугольника

А С В

А1 В1 С1 Рис 1

Два треугольника называются равными если их можно совместить наложением. Рис 1.

Каждый из треугольников можно наложить на другой так, что они полностью совместятся, т.е попарно совместятся их вершины и стороны. Таким образом, если два треугольника равны, то элементы одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны.

Медиана

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника. АМ-медиана треугольника АВС.

A M B C

Любой треугольник имеет три медианы. АМ1 , АМ2 , АМ3 –медианы треугольника АВС.

М 2 1 3

Биссектриса

Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой угла треугольника. АА1- биссектриса А треугольника АВС.

Любой треугольник имеет три биссектрисы. CC1, DD1 и EE1- биссектрисы треугольника CDE.

D E

Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, называется высотой треугольника. АН-высота треугольника АВС

H Высота

Любой треугольник имеет три высоты.

На рисунках отрезки AH1, BH2, CH3 – высоты треугольника ABC.

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника обладают замечательными свойствами: в любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке; биссектрисы пересекаются в одной точке; высоты или их продолжения также пересекаются в одной точке

Классификация треугольников

По углам тупоугольный остроугольный прямоугольный

Разносторонний

Треугольник называется разносторонним, если он имеет разные стороны и углы.

A≠ B ≠ C AB=BC=CA

Равнобедренный

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона – основанием равнобедренного треугольника.

Основание Боковая сторона

Теорема

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

4

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием BC и докажем, что B= C. Пусть AD – биссектриса треугольника ABC . Треугольники ABD и ACD равны по первому признаку равенства треугольников (AB=AC по условию, AD – общая сторона, 1= 2, так как AD –биссектриса). В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, поэтому B= C. Теорема доказана.

Доказательство:

Равносторонний

Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним или правильным AB=BC=CA

Первый признак равенства треугольников

ТЕОРЕМА Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: Δ АВС ,Δ А1В1С1 АВ = А1В1, АС = А1С1 , А = А1.. Доказать: Δ АВС = Δ А1В1С1.

Доказательство

Так как A= A1, то треугольник ABC можно наложить на треугольник A1B1C1 так, что вершина A совместится с вершиной A1, а стороны AB и AC наложатся соответственно на лучи A1B1 и A1C1. Поскольку AB=A1B1, AC=A1C1,то сторона AB совместится со стороной A1B1, а сторона AC - со стороной A1C1; в частности, совместятся точки B и B1,C и C1. Следовательно, совместятся стороны BC и B1C1. Итак, треугольники ABC и A1B1C1 полностью совместятся, значит, они равны. Теорема доказана.

Второй признак равенства треугольников

ТЕОРЕМА Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны

Дано: Δ АВС ,Δ А1В1С1 ВА = В1А1,  В =  В1..  А =  А1.. Доказать: Δ АВС = Δ А1В1С1

Наложим треугольник ABC на A 1B1C 1 так, чтобы вершина A совместилась с вершиной A 1, сторона AB – c равной ей стороной A 1 B 1, а вершины C и C1 оказались по одну сторону от прямой A 1 B 1. Так как A= A 1 и B= B 1, то сторона AC наложится на луч A1C 1, а сторона BC – на луч B 1 C 1. Поэтому вершина C – общая точка сторон AC и BC – окажется лежащей как на луче A 1 C 1, так и на луче B 1 C 1 и, следовательно, совместится с общей точкой этих лучей – вершиной C 1. Значит, совместятся стороны AC и A 1 C 1, BC и B 1 C 1. Итак, треугольники ABC и A 1B1C 1 полностью совместятся, поэтому они равны. Теорема доказана.

Третий признак равенства треугольников

ТЕОРЕМА Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: Δ АВС ,Δ А1В1С1 АС = А1С1 АВ = А1В1 ВС = В1С1 Доказать: Δ АВС = Δ А1В1С1

Приложим треугольник ABC к треугольнику A1B1C1 так, чтобы вершина A совместилась с вершиной A1, вершина B – с вершиной B1, а вершины C и C1 оказались по разные стороны от прямой A1B1. Возможны три случая: луч C1C проходит внутри угла A1C1B1. Луч C1C совпадает с одной из сторон этого угла. Луч C1C проходит вне угла A1C1B1. Рассмотрим первый случай. Так как по условию теоремы стороны AC и A1C1, BC и B1C1 равны, то треугольники A1C1 C и B1C1 C – равнобедренные. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника AС C1 = A1C1 С, угол BС1С= B1СС1, поэтому A1C1 B1 = ACB. Итак, AC=A1C1 , BC=B1C1, C= C1. Следовательно, треугольники ABC и A 1B1C1 равны по первому признаку равенства треугольников. Теорема доказана.

A(A ) В(В

Тест.

1.Для доказательства равенства треугольников АВС и DEF(рис1) достаточно знать, что: а) АВ=DF; б)АС=DE; в)АВ=DE. 2.Для доказательства равенства треугольников АВС и EDF(рис 2) достаточно доказать, что: а) А= D б) В= D в) А= Е . 3.Из равенства треугольников АВС и FDE(рис 3)следует, что: а)АВ=FD б)АС=DF в)АВ=EF . 4.Из равенства треугольников АВС и DEF(рис 4) следует, что: а) В= D б) А= Е в) С= F .

F рис.1 рис.2 рис.4 рис.3

5.В треугольнике АВС все стороны равны, и в треугольнике DEF все стороны равны. Чтобы доказать равенство треугольников АВС и DEF достаточно доказать, что : а) В= D; б)АВ=DE; в)РАВС=РDEF . 6. «Медиана в равнобедренном треугольнике является биссектрисой и высотой».Это утверждение : а)верно всегда; б)всегда неверно; в)может быть верно. 7.В каком треугольнике только одна его высота делит треугольник на два равных треугольника? а)в любом; б)в равнобедренном; в)в равностороннем. 8.Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник: а)равнобедренный; б)равносторонний; в)прямоугольный. 9.Если треугольник равносторонний, то: а)он равнобедренный; б)все его углы равны; в) любая его биссектриса является медианой и высотой.

Ответы к тесту.

В В А В Б В Б А 9. А,Б,В