Презентация "Развитие геометрических знаний от Евклида до Лобачевского" по математике – проект, доклад

Министерство общего и профессионального образования Свердловской области

ГОУ СПО «Ревдинский государственный педагогический колледж»

Реферат по математике

«Развитие геометрических знаний от Евклида до Лобачевского»

Исполнитель: Толстогузова Н. В. Студентка 31 группы Руководитель: Пикулева Н. А.

Ревда 2009

Содержание

1. Введение 2. Основная часть «Развитие геометрических знаний от Евклида до Лобачевского» 2.1. «Начала» Евклида 2.2. Пятый постулат 2.3. Гений из Казани 2.4. Модели новой геометрии 2.5. Значение геометрии Лобачевского 3. Заключение 4. Список литературы

Введение

Цель моей исследовательской работы: углубить знания математики, совершенствовать навыки исследовательской деятельности. Объект моего исследования: развитие математической науки от древних веков до Лобачевского.

Предмет исследования: «Начала» Евклида в открытиях Лобачевского. Задачи, которые я выполняла для достижения цели: - Изучить литературу, касающуюся темы моего реферата; - Отобрать материал необходимый для раскрытия темы реферата; - Выяснить закономерности развития науки от древних веков до наших дней; - Просмотреть важность открытий, сделанных Евклидом и Лобачевским; - Оформить выводы по результатам исследования.

2.1. «Начала» Евклида

«Началами» греки называли сочинения, в которых математика излагалась на аксиоматической основе.

Считается, что первые «Начала» написал в V в. до н. э. Гиппократ Хиосский. За ними последовали другие труды с таким же названием. Объясняется это тем, что в ΙV в. до н. э. появился грандиозный трактат Евклида, состоящий из 13 книг и содержащий все основные результаты древнегреческой математики. Все другие «Начала» просто перестали переписывать.

По «Началам» можно судить, что Евклид был не только хорошим математиком, но и замечательным педагогом.

В настоящее время считается установленным, что книги 1-4 (построение фигур на плоскости) и книга 11 (плоскости и линии в пространстве) содержат результаты Гиппократа; книги 5-6 (отношения величин, подобие фигур) и книга 12 ( площади фигур и объемы тел)- результаты Евдокса; книги 7-9 (натуральные числа, их отношения, пропорции) – результаты пифагорейцев; книги 10 и 13 (классификация иррациональностей, построение тел Платона)- результаты Теэтета. До сих пор учебники элементарной геометрии пишутся по Евклиду.

2.2. Пятый постулат

В фундамент своего изложения математики Евклид положил пять аксиом и пять постулатов. Особое внимание обращал на себя только V постулат: «Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых». В настоящее время V постулат более известен как аксиома параллельности и приводится в эквивалентной форме: Через точку, лежащую вне данной прямой, можно провести не более одной прямой, лежащей с данной в одной плоскости и не пересекающей ее. В силу большей сложности и меньшей наглядности V постулата по сравнению с другими у математиков возникло предположение, что его можно доказать.

2.3. Гений из Казани

Николай Иванович Лобачевский (1792-1856) родился в Нижнем Новгороде в семье мелкого чиновника. Когда ему было всего 7 лет, у него умер отец; семья переехала в Казань, где мальчик был отдан на казенное содержание в гимназию. В 15 лет он поступил на физико-математический факультет Казанского университета. В 19 лет Лобачевский получает степень магистра, а в 23 года становится профессором. Мировую известность он получил как создатель новой геометрии. Сначала Лобачевский пытался доказать V постулат, но постепенно пришел к мысли, что этого делать нельзя, исходя из остальных аксиом. Тогда он заменяет его на противоположное утверждение, которое сейчас называют аксиомой Лобачевского: через точку, лежащую вне прямой, в плоскости, проходящей через эти прямую и точку, можно провести более одной прямой, не пересекающихся с данной. В 1829-1830 гг. в журнале «Казанский вестник» Лобачевский печатает работу «О началах геометрии». Так впервые в мире появилась публикация неевклидовой геометрии. После следующих одни за другим ударами судьбы не сломили Лобачевского. Он не прекращает исследования и свою последнюю работу «Пангеометрия» посвящает 50-летию любимого университета.

Перечислим некоторые утверждения из новой геометрии Лобачевского: Через точку А, не лежащую на прямой а, проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих прямую а и лежащих с ней в одной плоскости. (Рис. 1) Среди них две прямые b и c называются параллельными а, остальные – расходящимися с а. Геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой, есть кривая линия. Сумма углов треугольника – величина переменная. Она зависит от размера треугольника, но всегда меньше π. Площадь треугольника, как было выведено еще Ламбертом, вычисляется по формуле S = r2(π – A – B – C), где r – радиус кривизны пространства, а A, B, C – величины углов треугольника, выраженные в радианах.

Рис. 1

2.4. Модели новой геометрии

Первой, сразу возникшей проблемой, стало доказательство непротиворечивости новой геометрии. Чтобы убедиться в непротиворечивости геометрии Лобачевского, надо было реализовать ее на некоторой поверхности, лежащей в евклидовом пространстве. Первым осуществил такую интерпретацию геометрии Лобачевского в 1863 г. итальянский математик Эудженио Бельтрами (1835-1900). Для этого он взял кривую на плоскости, обладающую тем свойством, что отрезок касательной к этой кривой, заключенный между точкой касания и осью абсцисс, имеет постоянную длину для всех точек кривой (рис. 1). Эту кривую называют трактрисой. Если вращать трактрису вокруг оси Ох, то она опишет поверхность (рис. 2), которую называют псевдосферой.

Рис. 2

Бельтрами доказал, что на достаточно малой части псевдосферы имеет место геометрия Лобачевского. Позднее Гильбертом было доказано, что невозможно вложить плоскость Лобачевского в трехмерное евклидово пространство так, чтобы сохранялись расстояния и чтобы не было ребер или каких-нибудь других особенностей. Очень простую модель всей плоскости Лобачевского нашел в 1871 г. Ф. Клейн: точки плоскости изображаются точками внутренней области круга (рис.3), прямые – хордами этого круга без точек, лежащих на граничной окружности.

Рис. 3

2.5. Значение геометрии Лобачевского

Создание геометрии Лобачевского оказало огромное влияние на все естественные науки. Ее результаты используются внутри математики, в частности сам Лобачевский с помощью своей геометрии вычислил около 200 интегралов. Но наиболее широкое применение она нашла в современной физике. Непреходящее значение открытия геометрии Лобачевского для науки состоит в том, что оно разрушило приобретенные веками традиционные взгляды на окружающий мир. Ученые стали более восприимчивыми к новым неожиданным научным открытиям. Более того, подобно работам Куммера в теории чисел, Галуа в алгебре, работы Лобачевского знаменовали начало нового, современного этапа в геометрии. Принцип построения неевклидовой геометрии Лобачевским, лег в основу создания других геометрий. В результате появился целый ряд новых геометрий.

3. Заключение

Итак, работа над темой реферата позволила мне окунуться в сказочный мир древней Греции, Египта. Я узнала много нового, интересного, расширила свой кругозор. В процессе работы над рефератом я совершенствовала умения работать со справочной литературой, интернетом, более глубоко поняла закономерности развития науки от древних веков до наших дней, важность открытия, сделанных Евклидом и Лобачевским. Конечно, не каждому дано понять мудрость рассуждения великих математиков, но, даже прикоснувшись к этой сокровищнице знаний, я получила много полезного для себя.

4. Список литературы

Болл У., Коксетер Г. Математические эссе и развлечения. – М.: Мир, 1986 Ван дер Варден Б. Л.Пробуждающая наука. – М.: Физматгиз, 1959 Гиндикин С. Г. Рассказы о физиках и математиках. – М.: Наука, 1985 Депман И. Я., Виленкин Н. Я. За страницами учебника математики. – М.: Наука, 1974 Начала Евклида. – М.: ОГИЗ, 1948–1950. – Т. 1 – 3 Розенфельд Б. А. История неевклидовой геометрии. – М.: Наука, 1976 Юшкевич А. П. История математики в средне века. М.: Физматгиз, 1961

Спасибо за внимание !!!