Презентация "Новые признаки равенства треугольников" по математике – проект, доклад

Школьное научное общество школы №1131 Новые признаки равенства треугольников

Автор: Жабин Виктор, Бобков Сергей. Научный руководитель: Кузнецова Т. Н. 2004 г. г. Москва

Содержание: 1 1.Введение стр. 2-3

2.Теория (классические признаки равенства треугольников) стр. 4-7

3.Признаки равенства треугольников связанные с высотой стр. 8-14

4.Признаки равенства треугольников связанные с биссектрисой стр. 15-17

5.Признаки равенства треугольников связанные с медианой стр. 18-21

4.Литература стр. 22-23

5.Рецензия стр. 24 В начало

ВВЕДЕНИЕ 2

В курсе геометрии 7 класса изучаются 3 признака равенства треугольников, которые позволяют решать определённый тип задач. Мы решили расширить теоретическую базу по признакам равенства треугольников, добавив к сторонам и углам, используемым в классических признаках равенства треугольников, другие компоненты: биссектрису, медиану и высоту. Таким образом, целями нашей работы является: 1. Сформулировать новые признаки равенства треугольников, используя понятия: биссектрисы, медианы и высоты. 2. Доказать новые признаки равенства треугольников. 3. Продемонстрировать другим учащимся существование в математике «белых пятен» и возможности их доказательства.

3

ТЕОРИЯ 4

Теорема: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1 А=А1; АС=А1С1; AВ=А1В1 Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1

Доказательство: т. к. А=А1, то ΔАВС можно наложить на ΔА1В1С1 так, что вершина А совместится с вершиной А1, а АВ и АС наложатся соответственно на лучи А1В1 и А1С1. Поскольку АВ=А1В1, АС=А1С1, то АВ совместится с А1В1, а АС – с А1С1; совместятся точки В и В1, С и С1=> ВС=В1С1=> ΔАВС=ΔА1В1С1

5 A B C A1 B1

Теорема: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1 B=B1; А=А1; AВ=A1В1 Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1

Доказательство: 1) наложим ΔАВС на ΔА1В1С1 так, что вершина А совместилась с вершиной А1, АВ с А1В1, а вершины С и С1 оказались по одну сторону от А1В1 2) так как А=А1, В=В1, то сторона АС наложится на луч А1С1=>вершина С – общая точка сторон АС и ВС – окажется лежащей на луче А1С1 и луче В1С1=>ΔАВС=ΔА1В1С1 ч. т. д.

6 C1

Теорема: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1 СВ=С1В1; АС=А1С1;AВ=А1В1 Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1

Доказательство: 1) Приложим ∆АВС к ∆А1В1С1 так, чтобы вершина А совместилася с вершиной А1, а вершина В – с В1, а вершины С и С1 окзались по разные стороны от прямой А1В1 2) Так как АС=А1С1, ВС=В1С1=> ∆А1С1С и ∆В1С1С р/б => 1=2, 3=4 (по признаку р/б ∆)=>А1СВ1=А1С1В1 3) Рассмотрим ∆АВС и ∆А1В1С1:

А1С1=АС (по усл.) С1В1=СВ (по усл.) =>∆ABC=∆A1B1C1 (по двум сторонам и углу между ними) С=С1 (п.2)

7 B(B1) A(A1) 1 3 2 4

ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ СВЯЗАННЫЕ С ВЫСОТОЙ

8

Теорема: Если два угла и высота, проведённая из вершины третьего угла, одного треугольника соответственно равны двум углам и высоте, проведённой из вершины третьего угла, другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство: 1) Рассмотрим ΔABH и ΔA1B1H1: B=B1 (по усл.) H=H1=900 (по усл.) =>ΔABH=ΔA1B1H1 (кпу)=>AB=A1B1; 1=3 AH=A1H1 (по усл.) 2) Рассмотрим ΔAHC и ΔA1H1C1: AH=A1H1 (по усл.) C=C1 (по усл.) =>ΔAHC=ΔA1H1C1 (кпу)=>AC=A1C1; 2=4 H=H1=900 (по усл.) 3 ) 1=3 (п.1) 2=4 (п.2) 4) Рассмотрим ΔABC и ΔA1B1C1: AB=A1B1 (п.1) AC=A1C1 (п.2) =>ΔABC=ΔA1B1C1 (по двум сторонам и углу между ними) A=A1 (п.3)

Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1 B=B1; C=C1; AH=A1H1 (высота) Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1

9 H H1 1 2 3 4 =>А=А1

Теорема: Если два угла и высота, проведённая из вершины одного из них, одного треугольника соответственно равны двум углам и высоте, проведённой из вершины одного из них, другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство: 1) Рассмотрим ΔABH и ΔA1B1H1 : B=B1 (по усл.) H=H1=900 (по усл.) =>ΔABH=ΔA1B1H1 (кпу)=>AB=A1B1; 1=3 AH=A1H1 (по усл.) =>2=4 A=A1 (по усл.) 1=3 (п.1) Рассмотрим ΔAHC и ΔA1H1C1 : AH=A1H1(по усл.) 2=4 (по п.2) =>ΔAHC=ΔA1H1C1(кпу)=>AC=A1C1 H=H1=900 (по усл.) Рассмотрим ΔABC и ΔA1B1C1: AB=A1B1(п.1) AC=A1C1 (п.2) =>ΔABC=ΔA1B1C1 (по двум сторонам и углу между ними) A=A1 (по усл.)

Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1 B=B1; А=А1; AH=A1H1 (высота) Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1

10

Теорема: Если высота и два прилежащих к ней острых угла одного треугольника соответственно равны высоте и двум прилежащим к ней острым углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1 1=3; 2=3; AH=A1H1 (высота) Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1

Доказательство: Рассмотрим ΔABH и ΔA1B1H1: 1=3 (по усл.) H=H1=900 (по усл.) =>ΔABH=ΔA1B1H1 (кпу)=>AB=A1B1 AH=A1H1 (по усл.) 2)Рассмотрим ΔAHC и ΔA1H1C1: AH=A1H1 (по усл.) 2=4 (по усл.) =>ΔAHC=ΔA1H1C1 (кпу)=>AC=A1C1 H=H1=900 (по усл.) 3)1=3 (по усл.) 2=4 (по усл.) 4)Рассмотрим ΔABC и ΔA1B1C1: AB=A1B1 (п.1) AC=A1C1 (п.2) =>ΔABC=ΔA1B1C1 (по двум сторонам и углу между ними) A=A1 (п.3)

=>A=A1 11

Теорема: Если сторона, противолежащий угол и высота, проведённая не из вершины данного угла, одного треугольника соответственно равны стороне, противолежащему углу и высоте, проведённой не из вершины данного угла, то такие треугольники равны.

Доказательство: Рассмотрим ΔABH и ΔA1B1H1: AB=A1B1 (по усл.) H=H1=900 (по усл.) =>ΔABH=ΔA1B1H1 (гик)=>1=3 AH=A1H1 (по усл.) 2)Рассмотрим ΔAHC и ΔA1H1C1: AH=A1H1 (по усл.) C=C1 (по усл.) =>ΔAHC=ΔA1H1C1 (кпу)=>AC=A1C1; 2=4 H=H1=900 (по усл.) 3)1=3 (п.1) 2=4 (п.2) 4)Рассмотрим ΔABC и ΔA1B1C1: AB=A1B1 (по усл.) AC=A1C1 (п.2) =>ΔABC=ΔA1B1C1 (по двум сторонам и углу между ними) A=A1 (п.3)

12

Теорема: Если сторона, прилежащий угол и высота, проведённая из вершины этого угла, одного треугольника соответственно равны стороне, прилежащему углу и высоте, проведённой из вершины этого угла, другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1 AB=A1B1 ; А=А1; AH=A1H1 (высота) Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1

Доказательство: Рассмотрим ΔABH и ΔA1B1H1: AB=A1B1 (по усл.) H=H1=900 (по усл.) =>ΔABH=ΔA1B1H1 (гик)=>1=3 AH=A1H1 (по усл.) 2) A=A1 (по усл.) 1=3 (п.1) =>2=4 3) Рассмотрим ΔAHC и ΔA1H1C1: AH=A1H1 (по усл.) 2=4 (п.2) =>ΔAHC=ΔA1H1C1 (кпу)=>AC=A1C1 H=H1=900 (по усл.) 4) Рассмотрим ΔABC и ΔA1B1C1: AB=A1B1 (по усл.) AC=A1C1 (п.3) =>ΔABC=ΔA1B1C1 (по двум сторонам и углу между A=A1 (по усл.) ними)

13

Теорема: Если угол, высота, проведённая из вершины этого угла, и проекция прилежащей к этому углу стороны одного треугольника соответственно равны углу, высоте, проведённой из вершины этого угла, и проекции прилежащей к этому углу стороны другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1 BH=B1H1 ; А=А1; AH=A1H1 (высота) Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1

Доказательство: Рассмотрим ΔABH и ΔA1B1H1: BH=B1H1 (по усл.) H=H1=900 (по усл.) =>ΔABH=ΔA1B1H1 (гик)=>AB=A1B1; 1=3 AH=A1H1 (по усл.) 2) A=A1 (по усл.) 1=3 (п.1) 3) Рассмотрим ΔAHC и ΔA1H1C1: AH=A1H1 (по усл.) 2=4 (п.2) =>ΔAHC=ΔA1H1C1 (кпу)=>AC=A1C1 H=H1=900 (по усл.) 4) Рассмотрим ΔABC и ΔA1B1C1: AB=A1B1 (п.1) AC=A1C1 (п.3) =>ΔABC=ΔA1B1C1 (по двум сторонам и углу между ними) A=A1 (по усл.)

14 =>2=4

ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ СВЯЗАННЫЕ С БИССЕКТРИСОЙ

15

Если в одном треугольнике угол, прилежащая сторона и выходящая из него биссектриса соответственно равны углу, прилежащей стороне и выходящей из него биссектрисе в другом треугольнике, то треугольники равны.

Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1 A=A1 AZ = A1Z1- биссектрисы AB=A1B1 Доказать: ∆ABC=∆A1B1C1

Доказательство: 1.Рассмотрим ∆AZB и ∆A1Z1B1: AB=A1B1 (по условию) AZ=A1Z1 (по условию) =>∆AZB=∆A1Z1B1 (по двум сторонам BAZ=B1A1Z1 (по условию) углу между ними)=>СZA=С1Z1A1 2.Рассмотрим ∆AZC и ∆A1Z1С1: CAZ=C1A1Z1 (по условию) AZ=A1Z1 (по условию) =>∆AZС=∆A1Z1С1 (по стороне и двум CZA=С1Z1A1 (п.1) прилежащим углам) 3. Рассмотрим ∆ABC и ∆ A1B1C1 A=A1 (по условию) AB=A1B1 (по условию) => ∆ABC=∆A1B1C1 (по двум сторонам и углу между ними) AC= A1С1 (п.2)

16 Z1 Z

Если в одном треугольнике угол, выходящая из него биссектриса и угол между биссектрисой и стороной соответственно равны углу, выходящей из него биссектрисе углу между биссектрисой и стороной в другом треугольнике, то треугольники равны.

Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1 AL=A1L1 – биссектрисы A =

Доказательство: Рассмотрим ∆ALC и ∆A1L1C1: AL=A1L1 (по условию) LAC = L1A1C1 (по условию) => ∆ALC=∆A1L1C1 => ALC = A1L1C1 (по условию) ALB=A1L1B1 2. Рассмотрим ∆ALB и ∆A1L1B1 ALB=A1L1B1 BAL=B1A1L1 (по условию) => ∆ALB=∆A1L1B1 AL=A1L1 (по условию) 3. Рассмотрим ∆ABC и ∆ A1B1C1 A=A1 (по условию) AB=A1B1 (по условию) => ∆ABC=∆A1B1C1 (по двум сторонам AC= A1С1 (п.2) и углу между ними)

17 L1 L

ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ СВЯЗАННЫЕ С МЕДИАНОЙ

18

Если в одном треугольнике: сторона, выходящая из одного из её концов медиана и прилежащая к другому её концу сторона соответственно равны стороне, выходящей из одного из её концов медиане и прилежащая к другому её концу стороне в другом треугольнике, то треугольники равны.

Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1 AL=A1L1 – Медианы BLA = B1L1A1 AL = A1L1 BC=B1C1 Доказать: ∆ABC = ∆A1B1C1

Доказательство: 1. Рассмотрим ∆ALC и ∆A1L1C1: AL=A1L1 (по условию) CLA = C1L1A1 (по условию) => ∆ALC=∆A1L1C1 => LC = L1C1 (по условию) ALB=A1L1B1 2. Рассмотрим ∆ALB и ∆A1L1B1 ALB=A1L1B1 BL=B1L1 (по условию) => ∆ALB=∆A1L1B1 AL=A1L1 (по условию) 3. Рассмотрим ∆ABC и ∆ A1B1C1 BC = B1C1 (по условию) AC=A1C1 (п.1) => ∆ABC=∆A1B1C1 (по двум сторонам AB= A1B1 (п.2) и углу между ними)

19

Если в одном треугольнике медиана, сторона угол между медианой и стороной соответственно равны медиане, стороне углу между медианой и стороной в другом треугольнике, то треугольники равны.

20

Если в одном треугольнике угол прилежащая сторона и проведённая к ней медиана соответственно равны углу, прилежащей стороне и проведённой к ней медиане в другом треугольнике, то треугольники равны.

Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1 AL=A1L1 – Медианы ABL = A1B1L1 BC=B1C1 Доказать: ∆ABC = ∆A1B1C1

Доказательство: 1. Рассмотрим ∆ALB и ∆A1L1B1 ALB=A1L1B1 (по условию) BL=B1L1 (по условию) => ∆ALB=∆A1L1B1 => AL=A1L1 (по условию) ALC=A1L1C1 2. Рассмотрим ∆ALC и ∆A1L1C1: AL=A1L1 (по условию) CLA = C1L1A1 => ∆ALC=∆A1L1C1 LC = L1C1(по условию) 3. Рассмотрим ∆ABC и ∆ A1B1C1 BC = B1C1 (по условию) AC=A1C1 (п.2) => ∆ABC=∆A1B1C1 (по двум сторонам AB= A1B1 (п.1) и углу между ними)

21

ЛИТЕРАТУРА 22

1. Геометрия 7-9 кл. Авторы: Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов.

23

РЕЦЕНЗИЯ 24