Конспект урока «Производная. Геометрический и механический смысл производной» по математике

Тема

Производная. Геометрический и механический смысл производной.

Цель

 Повторить, обобщить и систематизировать материал по данным темам. Показать связь понятия производная с геометрией и физикой, показать необходимость знания материала темы при решении прикладных задач. Развивать логическое мышление учащихся, самостоятельность, умение анализировать, навыки самоконтроля. Воспитывать на уроке упорство в достижении конечных результатов, аккуратность, умение применять знания на практике, честность.

Этапы урока

ХОД УРОКА

Создание коллаборатив-ной среды

1. Организационный момент

Тренинг «Часики», самостоятельное определение темы и цели урока.

Определение темы урока:

Ответьте на мои вопросы:

1) С ее появлением математика перешагнула из алгебры в математический анализ;

2) Ньютон назвал ее «флюксией» и обозначал точкой;

3) Бывает первой, второй,… ;

4) Обозначается штрихом.

Цель нашего урока – повторить основные направления применения производной для решения различных (избранных) задач дифференциального исчисления.

Деление по группам.

Вступительное слово учителя

Лестница успеха.

Определите, на какой ступени лестницы в постижении знаний по данной теме находитесь вы сейчас.

Актуализация знаний по теме

Производная относится к числу математических понятий, которые носят межпредметный характер, и широко применяются в физике, химии, биологии, в технике и других отраслях наук. Это в значительной степени повышает роль межпредметных задач при изучении темы: “Производная”. Изучение материала по теме урока имеет принципиально важное значение, так как здесь показывается приложение производной к решению различных физических и технических задач, то есть возможности применения элементов дифференциального исчисления в описании и изучении процессов и явлений реального мира. Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в XV11 веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного движения и построения касательной к прямой. Независимо друг от друга И.Ньютон и Г.Лейбниц разработали аппарат, которым мы и пользуемся в настоящее время.

В настоящее время понятия производной находит большое применение в различных областях науки и техники.

Давайте вспомним основные направления применения производной.

производная

Повторение таблицы производных, графиков функций и их производных.

Работа в группах

(2 группы)

Деление на 3 группы

Решение

задач

(геометрический смысл производной)

Механический смысл производной

Тестирование

Работа с таблицей производных. (горячий стул внутри группы, взаимооценивание)

Устно найти производные функций. (фронтально)

«Собери четверку», работа с графиками.

(индивидуальная работа с взаимопроверкой)

1)Геометрический смысл производной

2)Механический смысл производной

1. Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производно в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

Касательная к графику дифференцируемой в точке х₀ функции f- это прямая, проходящая через точку (х₀; f (х₀)) и имеющая угловой коэффициент f’(х₀).

2. Механический смысл производной

1. Если на дороге произошла авария, то инспектора полиции интересует скорость в момент аварии. Как она называется?

2. Как связана мгновенная скорость с производной?

3. Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону х(t), то мгновенная скорость точки V(t) = x’(t).

Механический смысл производной состоит в том, что производная от координаты по времени есть скорость (V(t) = x’(t) ). Производная от скорости по времени есть ускорение. (a = v’(t) )

Тангенс угла наклона касательной есть величина, показывающая мгновенную скорость изменения функции в данной точке, т.е. новая характеристика изучаемого процесса. Эту величину Лейбниц назвал производной; Ньютон говорил, что производной называется сама мгновенная скорость.

1. Можно ли по графику определить чему равно значение производной в точке х₀, т.е. в точке касания?

(работа по графикам)

2. Дана функция у(x) = x² – 2х. Напишите уравнение касательной к графику этой функции в точке с абсциссой х₀ = 2.

3. Дана функция у(x) = Напишите уравнение касательной к графику этой функции в точке с абсциссой х₀ = - 4.

4. Дана функция у(x) = sin 2x . Напишите уравнения касательных к графику этой функции в точках с абсциссами х₀ = 0 и х₀= .

Ответы

а) у = 2х – 4,

б) у = - 1,5х - 9 ,

в) у = 2х и у = -2х + π .

1.Лифт после включения движется по закону s(t) = t² + 2t + 12. Найти скорость лифта в конце 5 секунды.(12 м/с)

2.Лыжник , спускаясь с горы, движется по закону s(t) = 0,5t² - t. Найти скорость и ускорение лыжника в момент времени t= 3 с, если расстояние измеряется в метрах. Какое это движение?

(v(3) = 2 м/с; а = 1 м/с; равноускоренное движение)

3. Тело массой 10 кг движется прямолинейно по закону: S (t) = 3t² + t + 1 . Найдите кинетическую энергию тела через 4 с после начала движения.

(Решение: E_k = (mv²)/2, Найдем скорость движения тела в момент времени t: v = S’(t) = (3t² +t + 1)’ = 6t + 1. Вычислим скорость тела в момент времени t = 4c; v(4) = 6 ∙ 4 + 1 = 25. E_k = (10∙ 25²)/2 = 5 ∙ 25² = 3125 (Дж)

« Производная. Геометрический и механический смысл производной»

1 Вариант

1. Точка движется прямолинейно по закону S(t)=2t³ +0,5t²-t.

Вычислите скорость при t=1.

1) 5 2) 7 3) 6 4) 9

2. Найдите угловой коэффициент касательной к кривой в точке с абсциссой х=8

1) 1 2) 32 3) 16 4) 8

3. Под каким углом к оси Ох наклонена касательная проведённая к кривой в точке М(2;-4) ?

1) 2) 3) 4)

4. Прямая касается графика функции в точке .Найдите .

1) 1 2) -3 3) -2 4) 2

5. Найдите тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси Ох, проведённой к графику функции в точке с абсциссой .

1) 8 2) 6 3) 4 4) 0

2 Вариант

1. При прямолинейном движении тела путь S(t) (в метрах) изменяется по закону S(t)=. В какой момент времени ускорение будет равно нулю?

1) 5с 2) 10с 3) 0с 4) 0,2с

2. Под каким углом к положительному направлению оси абсцисс наклонена касательная, проведённая в любой точке кривой ?

1) острым 2) тупым

3) прямым 4) параллельна оси Ох

3. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой

1) 2) 3) 4) 3

4. Дана функция . Найдите координаты точки, в которой угловой коэффициент касательной к графику функции равен 2.

1) (4; 3) 2) (-3; 3) 3) (3; -2) 4) (2; -3)

5. Угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции в точке с положительной абсциссой ,равен 2. Найдите .

1) 2) 0 3) 4) 1

Рефлексия

Подведение итогов урока

Рефлексия Притча: Шёл мудрец, а навстречу ему 3 человека, которые везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства. Мудрец остановился и задал каждому по вопросу. У первого спросил «Что ты делал целый день? И тот с ухмылкой ответил, что целый день возил камни. У второго мудрец спросил «А что ты делал целый день?» и тот ответил «А я добросовестно выполнял свою работу». А третий улыбнулся, его лицо засветилось радостью и удовольствием «А я принимал участие в строительстве храма»

• Ребята, давайте мы попробуем с вами оценить каждый свою работу за урок.

• Кто возил камни? (подним. жёлтые жетоны)

• Кто добросовестно работал? (подним.синие жетоны)

Кто строил храм? (подним.красные жетоны)

Лестница успеха (добавить, на какой ступени лестницы успеха находитесь вы сейчас и сделать вывод – поднялись ли вы хоть на одну ступень выше?)

Домашнее задание.  Выбрать из тестовых заданий ЕНТ задачи на применение геометрического и механического смысла производной