Презентация "План работы:" – проект, доклад

Выполнил: Ковалев Никита Олегович, студент группы БМП-12-11

Функции. Графики функций и их свойства

Y=kx+b y=ax²+bx+c y=x n x y

План работы:

Рассмотреть графики и свойства функций:

1. Линейная 2. Квадратичная 3. Степенная:

а) с четным отрицательным показателем

б) с нечетным отрицательным показателем

в) с показателем, равным 0

г) с четным положительным показателем

д) с рациональным показателем

5. Логарифмическая

6. Тригонометрические:

a) y=sin(x) б) y=cos(x) в) y=ctg(x) г) y=tg(x)

7. Обратные тригонометрические:

a) y=arcsin(x) б) y=arccos(x) в) y=arcctg(x) г) y=arctg(x) 4. Показательная

y = kx + b, где k,b - действительные числа График линейной функции - прямая. k - угловой коэффициент k = tg a, b - ордината точки пересечения с осью y

Частные случаи линейной функции:

прямая пропорциональность:

постоянная функция:

y=kx+b

7) При b =0 функция имеет вид у = kх. график - прямая, проходящая через начало координат

Свойства линейной функции:

1) Область определения - множество R

2) Область значений - множество R, если k не равно 0, а если к =0, то число b

3) При к не равно 0, функция ни парная ни непарная; если к =0, то функция парная; если b =0, то функция непарная

4) При к>0 функция возрастает, при к <0 функция убывает, при к =0 постоянная

5) Функция не имеет экстремумов

6) График - прямая, не проходящая через начало координат

y = ax2 + bx + c, где a не равно График квадратичной функции - парабола. Свойства функции и вид её графика определяются, в основном, значениями коэффициента a и дискриминанта D = b2 - 4ac.

a > 0, D > 0 a > 0, D = 0 a > 0, D < 0

Графиком этой функции является парабола

a < 0, D > 0 a < 0, D = 0 a < 0, D < 0

ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ: R

ОБЛАСТЬ ЗНАЧЕНИЙ:

ЧЕТНОСТЬ, НЕЧЕТНОСТЬ:

НУЛИ: при а > 0 [-D/(4a); ∞) при а < 0 (-∞; -D/(4a)]

при b = 0 функция четная при b ≠ 0 функция не является ни четной, ни нечетной

при D > 0 два нуля:

при D = 0 один нуль функции:

при D < 0 нулей функции нет

Свойства квадратичной функции:

: 1) если, а > 0, D > 0, то 2) если, а > 0, D = 0, то 3) eсли а > 0, D < 0, то 4) если а < 0, D > 0, то 5) если а < 0, D = 0, то 6) если а < 0, D < 0, то

Промежутки знакопостоянства

Промежутки монотонности

при а > 0 при а < 0

3.Степенная

Перейдем к степенной функции при а = -2, -4, -6, …

y=xn

На рисунке изображены графики степенных функций - – черная линия, – синяя линия, – красная линия

Свойства степенной функции с четным отрицательным показателем:

1. Область определения:

2. Область значений:

3. Функция четная, так как

4. Функция возрастает при

убывает при

5. Функция вогнутая при

6. Точек перегиба нет.

7.Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0

8. Функция проходит через точки (-1;1), (1;1).

Перейдем к степенной функции при а = -1, -3, -5,…

На рисунке в качестве примеров показаны графики степенных функций

– красная линия, – зеленая линия.

При а = -1 имеем обратную пропорциональность (гиперболу) - частный случай степенной функции.

Свойства степенной функции с нечетным отрицательным показателем:

3. Функция нечетная, так как

4. Функция убывает при

5. Функция выпуклая при

и вогнутая при

7. Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0

8. Функция проходит через точки (-1;-1), (1;1).

в) с показателем n=0

Рассмотрим функцию, когда y=x 0=1

Графиком этой функции является

прямая 1 y=1 0 Свойства:

1. Область определения : y=R

2. Область значений: y=1

3. Функция не возрастает и не убывает

4.Функция не имеет экстремумов

5. График не проходит через начало координат

Рассмотрим степенную функцию

с четным положительным

показателем степени, то есть, при а = 2, 4, 6, ….

В качестве примера приведем графики степенных функций

– черная линия, – синяя линия, – красная линия.

При а = 2 имеем квадратичную функцию – квадратичную параболу – частный случай степенной функции.

г) с четным положительным показательным

Свойства степенной функции с четным положительным показателем:

, убывает при

7. Функция проходит через точки (-1;1), (0;0), (1;1).

д) с рациональным показательным

Рассмотрим графики степенной функции

, если и а – несократимая рациональная дробь

с четным знаменателем (например, а = 1/4 или 3/8)

На рисунке в качестве примера показаны графики степенных функций

y=

Свойства степенной функции с рациональным показателем меньшим единицы:

3. Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.

7. Функция проходит через точки (0;0), (1;1).

Одной из основных элементарных функций является показательная функция.

График показательной функции

, где и

Рассмотрим случай, когда основание показательной функции принимает значение от нуля до единицы, то есть,

Для примера приведем графики показательной функции при

а = 1/2

a = 5/6 – красная линия.

y=a х

Свойства показательной функции с основанием меньше единицы

1. Областью определения показательной функции является все множество действительных чисел:

3. Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть, она общего вида.

4. Показательная функция, основание которой меньше единицы, убывает на всей области определения.

7. Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0 при х стремящемся к плюс бесконечности.

8. Функция проходит через точку (0;1).

Следующей элементарной функцией является логарифмическая функция

Логарифмическая функция определена лишь

для положительных значений аргумента, то есть, при

График логарифмической функции принимает различный вид в зависимости от значения основания а.

Начнем со случая, когда

приведем графики логарифмической функции при

Для примера

При других значениях основания, не превосходящих единицы, графики логарифмической функции будут иметь схожий вид.

Свойства логарифмической функции с основанием меньшим единицы

1. Область определения логарифмической функции:

при х стремящемся к нулю справа, значения функции стремятся к плюс бесконечности.

4. Логарифмическая функция убывает на всей области определения.

7. Горизонтальных асимптот нет.

8. Функция проходит через точку (1;0).

Перейдем к случаю, когда основание логарифмической функции больше единицы

Покажем графики логарифмических функций

При других значениях основания, больших единицы, графики логарифмической функции будут иметь схожий вид.

Свойства логарифмической функции с основанием большим единицы

При х стремящемся к нулю справа,

значения функции стремятся к минус бесконечности.

2. Областью значений логарифмической функции является все множество действительных чисел, то есть, интервал

6. Точек перегиба нет

8. Функция проходит через точку (1;0)

6. Тригонометрические

Все тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс и котангенс) относятся к основным элементарным функциям.

У тригонометрических функций есть понятие периодичности (повторяемости значений функции при различных значениях аргумента, отличных друг от друга на величину периода

где T - период),

поэтому, в список свойств тригонометрических

функций добавлен пункт «наименьший положительный период».

Также для каждой тригонометрической функции мы укажем значения аргумента, при которых соответствующая функция обращается в ноль.

а) Функция синус y = sin(x)

синусоида

Свойства функции y=sin(x):

1. Областью определения функции синус является все множество действительных чисел, то есть, функция y = sinx определена при

2. Наименьший положительный период функции синуса равен двум пи:

3. Функция обращается в ноль при

,где Z – множество целых чисел.

4. Функция синус принимает значения из интервала от минус единицы до единицы включительно, то есть, ее область значений есть

5. Функция синус - нечетная, так как

6. Функция убывает при

,возрастает при

7. Функция синус имеет локальные максимумы в точках

локальные минимумы в точках

8. Функция y = sinx вогнутая при

выпуклая при

9. Координаты точек перегиба

10. Асимптот нет.

б) Функция косинус y = cos(x)

График данной функции

Свойства функции y=cos(x):

1. Область определения функции косинус:

2. Наименьший положительный период функции y = cosx равен двум пи

Z – множество целых чисел.

4. Область значений функции косинус представляет интервал от минус единицы до единицы включительно:

5. Функция косинус - четная, так как

7. Функция y = cosx имеет локальные максимумы в точках

8. Функция вогнутая при

,выпуклая при

г) Функция тангенс y = tg(x)

Изобразим график функции тангенс (его называют "тангенсоида"):

Свойства функции y=tg(x):

1. Область определения функции тангенс:

2. Наименьший положительный период функции тангенс

, Z – множество целых чисел.

4.Область значений функции y = tgx:

5. Функция тангенс - нечетная, так как

6. Функция возрастает при

7. Функция вогнутая при

8. Координаты точек перегиба

9. Наклонных и горизонтальных асимптот нет.

в) Функция котангенс y = сtg(x)

Изобразим график функции котангенс (его называют "котангенсоида"):

1. Область определения функции котангенс:

2. Наименьший положительный период функции y = ctgx равен пи

4. Область значений функции котангенс:

5. Функция нечетная, так как

6. Функция y = ctgx убывает при

7. Функция котангенс вогнутая при

7. Обратные тригонометрические

а) Функция арксинус y = arcsin(x)

Свойства функции y=arcsin(x):

1. Областью определения функции арксинус является интервал от минус единицы до единицы включительно:

2. Область значений функции y = arcsin(x):

3. Функция арксинус - нечетная, так как

4. Функция y = arcsin(x) возрастает на всей области определения, то есть, при

, выпуклая при

6. Точка перегиба (0; 0), она же ноль функции

7. Асимптот нет.

б) Функция арксинус y = arccos(x)

Свойства функции y=arccos (x):

1. Область определения функции арккосинус:

2. Область значений функции y = arccos(x):

3. Функция не является ни четной ни нечетной, то есть, она общего вида.

4. Функция арккосинус убывает на всей области определения, то есть, при

6. Точка перегиба

в) Функция арктангенс y = arctg(x)

Свойства функции y=arctg(x):

1. Область определения функции y = arctg(x):

2.Область значений функции арктангенс:

3. Функция арктангенс - нечетная, так как

4. Функция возрастает на всей области определения, то есть, при

5. Функция арктангенс вогнутая при

6. Точка перегиба (0; 0), она же ноль функции.

7. Горизонтальными асимптотами являются прямые

при

На чертеже они показаны зеленым цветом.

г) Функция арккотангенс y = arcсtg(x)

Свойства функции y=arcсtg(x):

1. Областью определения функции арккотангенс является все множество действительных чисел:

2. Область значений функции y = arcctg(x):

3. Функция арккотангенс не является ни четной ни нечетной, то есть, она общего вида.

4. Функция убывает на всей области определения, то есть, при

(на чертеже показана зеленым цветом) и y = 0 при

Спасибо за внимание!