Презентация "Радианная мера углов и дуг" по математике – проект, доклад

Алгебра и начала анализа 10 класс

Радианная мера углов и дуг

Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск

Радианом называется величина центрального угла, который опирается на дугу окружности длиной в один радиус (обозначается 1 рад).

1 рад R A B O   AB=R AOB=1 рад 600

Из скольких дуг, длиной R, состоит окружность? Подсказка: вспомните формулу длины окружности…

?

Задание 1. Вывести правила перевода из радианной меры в градусную и наоборот. Ответ: α0= α0· рад  правило перевода из градусной меры в радианную; α рад= α·  правило перевода из радианной меры в градусную. 1 рад = ; 1 рад  57019’ 10 = рад; 10  0,017 рад

3600 – 2 рад 10 – х рад

3600 – 2 рад х 0 – 1 рад

Окружность с центром в начале системы координат Oxy и радиусом, равным единице, называется единичной, а ограниченный ей круг – тригонометрическим.

Приняв точку пересечения окружности с положительной частью оси Ох за начало отсчета; Выбрав положительное направление – против часовой стрелки, отрицательное – по часовой стрелке; Отложив от начала отсчета дугу в 1 рад, мы получим, что тригонометрическая окружность в некотором смысле «эквивалентна» понятию «числовая прямая».

x y 0 1 «+» «»

3 2  у х –

Проследите за одновременным движением точки на координатной прямой и на тригонометрической окружности:

Обязательно разберитесь, почему на прямой семь точек, а на окружности их пять.

Так как дуги – это части окружности, то длины некоторых из них будут выражены через число  (объясните почему).

Откладывая в положительном и отрицательном направлениях от начала отсчета прямой угол получим точки, соответствующие числам … и (объясните почему); Выполнив поворот на развернутый угол в положительном и отрицательном направлениях получаем две совпадающие точки окружности с координатами… и .

Напомним, что декартова система разбивается координатными осями на четыре координатные четверти – I, II, III и IV.

Задание 2. Определите границы координатных четвертей через углы поворота в радианной мере, взятых в положительном направлении. Задание 3. Выполните предыдущее задание, при условии, что выбирается отрицательное направление углов поворота. Задание 4. Какой координатной четверти принадлежит точка окружности с координатой 6,28?

I II III IV

 это соотношение может Вам понадобиться для понимания некоторых фактов!

Отметив на окружности точки с абсциссой 0,5 мы получим точки, соответствующие числам … и (объясните почему); Аналогично, получаются точки окружности с координатами ; . Обратите внимание на симметричность относительно оси Ox полученных точек!

0,5  0,5

Отметив на окружности точки с ординатой 0,5 мы получим точки, соответствующие числам … и (объясните почему); Аналогично, получаются точки окружности с координатами ; . Обратите внимание на симметричность относительно оси Oy полученных точек!

Графики функций y=x и y=x  прямые, являющиеся биссектрисами координатных четвертей.

Постройте графики функций y=x и y=x. Подумайте, какие углы поворота соответствуют точкам пересечения этих прямых с тригонометрической окружностью?... …Ответ: ; ; ; .

Отметим на тригонометрической окружности точку А, соответствующую произвольному острому положительному углу поворота .

Если добавить полный поворот к углу α , то мы снова окажемся в той же точке А. Но теперь ее координата равна (подумайте)… . Вообще, любую точку окружности можно получить поворотом на угол, вида α+2n, где n и α[0;2).

A(α) A(α+2)

Итогом нашей предыдущей работы является данная окружность, на которой отмечены наиболее часто встречающиеся в различных таблицах углы.

Примечание. На чертеже отмечены только положительные углы поворота. Задание 5. Найдите координаты всех точек, отмеченных на данной окружности (указание: рассмотрите различные прямоугольные треугольники с гипотенузой-радиусом (см.рис.) и примените теорему Пифагора ; помните о симметричности точек).

-0,5

Ответы и решения.

Задание 2. - I четверть, - II четверть, - III четверть, - IV четверть. Задание 3. - I четверть, - II четверть, - III четверть, - IV четверть

Задание 4. 6,28IV (см.рис.) 6,28 2 4 5 6

Задание 5.