Презентация "Найти площадь криволинейной трапеции" по математике – проект, доклад

Площадь криволинейной трапеции

© Комаров Р.А.

Определение производной:

Найти производную функции по определению:

Вставьте вместо *

Определение первообразной:

Будут ли первообразными следующие функции

для функции

Рассмотрим следующие чертежи

Определение: фигура, ограниченная графиком непрерывной и не меняющей своего знака на отрезке [a; b] функции, прямыми x=a, x=b и отрезком [a; b] называется криволинейной трапецией.

Указать криволинейные трапеции, ответ обосновать.

Как вычислить площадь данной криволинейной трапеции?

Площадь равна произведению полусуммы оснований трапеции на высоту.

?

Вычислите площадь криволинейной трапеции 2-мя способами

1) Используя формулу площади трапеции из геометрии, получим:

2) Найдите F(x) и вычислите S по формуле S=F(b)-F(a)

Теорема: Если f – непрерывная и неотрицательная на отрезке [a; b] функция, а F – ее первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [a; b], т.е. S=F(b)-F(a).

Дано: f – функция непрерывная, неотрицательная на отрезке [a; b] криволинейная трапеция Док-ть: S=F(b)-F(a)

Доказательство:

Выберем между a и b на оси абсцисс фиксированную точку х и рассмотрим криволинейную трапецию, обозначим ее площадь через S(x).

Каждому х из отрезка [a; b] соответствует вполне определенное значение S(x), то есть S(x) можно назвать- функцией, зависящей от х. х=а, то S(a)=0. Если х=b , то S(b)=S (где S-площадь криволинейной трапеции).

Докажем , что

– это площадь криволинейной трапеции, опирающейся на отрезок[x; x+∆x] (площадь фигуры заштрихованной на рисунке)

Возьмем прямоугольник, равновеликий этой криволинейной трапеции и с длиной ∆х. Верхнее основание этого прямоугольника пересекает график функции в точке с координатами (с ; f(c)).

Найдем С: Тогда

Таким образом, мы доказали теорему и в дальнейшем площадь криволинейной трапеции будем вычислять по формуле

S=F(b)-F(a)

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение: Ответ:

Алгоритм нахождения площади криволинейной трапеции: Изобразить чертеж и убедится, является ли данная фигура криволинейной трапецией Найти первообразную F(x) Применить формулу S=F(b)-F(a)