Презентация "Парабола. Родственники параболы ближние и дальние." по математике – проект, доклад

ПАРАБОЛА. РОДСТВЕННИКИ ПАРАБОЛЫ - БЛИЖНИЕ И ДАЛЬНИЕ

Авторы работы: Сильченко Ольга, Изотова Анна ученицы 9 класса МБОУ Страшевичская СОШ

учитель: Самолысова Татьяна Васильевна

Цель проекта:

изучить одну из кривых второго порядка (параболу) и сферы её применения.

Задачи проекта :

1.Дать математическое определение параболы. 2. Изучить свойства параболы. 3. Выяснить, почему параболу называют коническим сечением. 4.Найти сведения о «родственниках» параболы 5. Выявить области применения параболы

Всем нам хорошо знаком квадратный трехчлен, про который казалось бы, мы все знаем: и как корни находить, и как график строить, и как неравенства квадратичные решать... Но это поспешное суждение - у нашего старого знакомого есть немало секретов и сюрпризов!

Пара́бола (греч. παραβολή — приложение) —кривая, точки которой одинаково удалены от некоторой точки, называемой фокусом, и от некоторой прямой, называемой директрисой параболы.

Парабола - это сечение конуса плоскостью, параллельной его образующей.

Еще один способ построения

Оказывается, что парабола – график квадратичной функции – обладает интересным свойством: есть такая точка и такая прямая, что каждая точка параболы одинаково удалена от этой точки и от этой прямой (точку называют фокусом параболы, а прямую – директрисой). Это свойство параболы было известно еще математикам античной Греции. Для графика функции у = х2 фокусом служит точка с координатами (0;0,25), а директрисой – прямая у = -0,25. Попробуйте придумать, как можно строить параболу, используя это свойство.

Для того чтобы нарисовать параболу, потребуются линейка, угольник, нить длиной, равной большему катету угольника, и кнопки. Прикрепим один конец нити к фокусу, а другой - к вершине меньшего угла угольника. Приложим линейку к директрисе и поставим на нее угольник меньшим катетом. Карандашом натянем нить так, чтобы его острие касалось бумаги и прижималось к большему катету. Будем перемещать угольник и прижимать к его катету карандаш так, чтобы нить оставалась натянутой. При этом карандаш будет вычерчивать на бумаге параболу.

Свойства параболы

1. Парабола — кривая второго порядка. 2. Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и вершину перпендикулярно директрисе. 3.Оптическое свойство. Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей. 4. Для параболы фокус находится в точке (0; 0.25). Для параболы фокус находится в точке (0; f). 5.Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.

Самые близкие родственники параболы – это окружность, гипербола и эллипс.

А роднит все эти кривые обыкновенный конус : провести плоскость, которая параллельна оси конуса, то линией пересечения окажется гипербола

если плоскость перпендикулярна оси, то пересечение – окружность,

если плоскость расположить между последними двумя, то в пересечении получится эллипс.

если плоскость параллельна образующей конуса, то в пересечении получится парабола,

Поэтому все эти кривые вместе называют коническими сечениями.

Уже в 340 году до нашей эры греческий математик Менехм знал о таком свойстве этих кривых, а во втором веке до нашей эры Аполлоний из Перги написал подобный трактат «Конические сечения».

Циклоида. Еще одна знаменитая родственница параболы - циклоида. Это траектория точки обода колеса, которое катится без скольжения по прямой. Такое название дал кривой Галилей. Если спускаться на санках с горки построенной в виде циклоиды, то время спуска не зависит от того, с какого места начали катиться санки. Но зато спуск с той же высоты по горке любой другой формы займет больше времени. Из-за этого свойства циклоиду еще называют «брахистохроной» (от греческих слов, означающих «кратчайший» и «время»).

Заметим еще, что касательная к циклоиде в точке А всегда проходит через верхнюю точку Т производящей окружности. Именно по этой касательной летит грязь с колеса на спину велосипедиста, если колесо не закрыто крылом.

Параболоид вращения. Если вращать параболу вокруг ее оси вращения то получится поверхность, которую называют параболоидом вращения. Если сильно размешать ложечкой воду в стакане, а потом вынуть ложечку, то поверхность воды примет форму такого параболоида.

Параболоид вращения фокусирует пучок лучей, параллельный главной оси, в одну точку. Часто используется свойство параболоида вращения собирать пучок лучей, параллельный главной оси, в одну точку — фокус, или, наоборот, формировать параллельный пучок излучения от находящегося в фокусе источника. На этом принципе основаны параболические антенны, телескопы-рефлекторы, прожекторы, автомобильные фары.

Использование параболоидов в технике

Телескопы-рефлекторы

Прожектор

Автомобильные фары

Солнечная зажигалка

Оригинальный способ использования энергии Солнца. Солнечная зажигалка представляет собой параболическое зеркало из нержавеющей стали, почти такое же, как то, которое используется для зажигания Олимпийского огня в Афинах. Параболическое зеркало дает возможность собрать всю энергию в одной фокусной точке и зажечь огонь. Температура в этой точке может достигать 537-ми градусов по Цельсию. Такое устройство будет незаменимо в походе и в других полевых условиях.

Параболическая орбита и движение спутника по ней

Параболы в физическом пространстве

Падение баскетбольного мяча

Параболическая солнечная электростанция в Калифорнии, США.

Парабола. Её форма невероятна, как, впрочем, и высота. Некоторые люди до сих пор не верят в существование этой странной скалы. Так и говорят: “Нет ни бога, ни Параболы. А то, что показывают – это фотошоп.”

Парабола в природе

Вечер. На озеро ложатся тени…

Параболические траектории струй воды

Парабола в живой природе Несомненно заблуждается тот, кто считает, что параболу можно встретить только на страницах учебника. Внимательно посмотрите на рисунки и найдите в них параболы. Сами выполните несколько рисунков листьев, цветов,животных и найдите в них параболы.

Параболы в животном мире

Траектории прыжков животных близки к параболе

Параболы в архитектуре

Итоги

В ходе работы над данным проектом:

1. Сформулировано строгое математическое определение параболы. 2. Рассмотрен способ построения параболы. 3. Изучены некоторые свойства параболы. 4. Выявлена связь между понятиями «парабола» и «конические сечения», найдены родственники параболы. 5. Определены сферы применения параболы(физика, техника, астрономия, архитектура и др.). 6. Подтверждена значимость математики в окружающем мире.

Список использованных источников:

1. Энциклопедический словарь юного математика. Составитель А.П.Савин, М, Педагогика, 1982 год. 2. Энциклопедия для детей, том 11, "Математика", М, "Аванта+", 1998 год. 3. Математический клуб "Кенгуру", "Вокруг квадратного трехчлена" СПб, 2002 год. 4. Сайт http://www/uvlekat- matem.narod.ru/ 5.Сайт www.bigpi.biysk.ru 6.Сайт ru.wikipedia.org›Коническое сечение