Презентация "Математика и музыка" – проект, доклад

Работу выполнила: Клементьевская Марина Валентиновна МОУ «Общеобразовательная гимназия №3», г.Архангельск Научный руководитель: Косарева Галина Николаевна, учитель математики ВКК, зав. кафедрой физики-математики, Почётный работник общего образования РФ

Фестиваль исследовательских и творческих работ учащихся «Портфолио»

Математика — самая абстрактная из наук, а музыка — наиболее отвлеченное из искусств, это высшие выразители науки и искусства. Волошинов А.

Цель работы: провести параллель между математикой и музыкой. Задачи: 1) познакомиться с пифагорейским учением о связи между математикой и музыкой; 2) разобрать основные правила консонанса и доказать их математическую природу; 3) в ходе исследования проверить, действуют ли пифагорейские правила консонанса до сих пор; 4) доказать благотворное влияние изучения музыки на математические способности и наоборот. Методы исследования: 1) поиск, анализ и синтез различных источников информации: книг, статей, Интернет-ресурсов; 2) математический анализ музыкальных аккордов; 3) анкетирование.

Актуальность темы состоит в том, что многие не понимают, что математика и музыка родственны. Родители не принимают во внимание тот факт, что музыкальное образование развивает способности к математике. Учитывая, что математика становится всё более популярным, но остаётся при этом не менее сложным предметом, ценность музыки и музыкального образования как вспомогательного должна повышаться.

Музыка, математика – сколь родственны они. Имре Мадач (венгерский писатель)

Пифагор — едва ли не самый популярный ученый не только в античности, но и в наши дни.

Заслуги пифагора

Пифагор учил математике, музыке, астрономии, медицине, принципам политической деятельности, этике и многому другому. Из его школы вышли выдающиеся политические и государственные деятели, историки, математики и астрономы. Числа, равные сумме своих делителей, воспринимались как совершенные; дружественными называли пары чисел, из которых каждое равнялось сумме делителей другого. Пифагор впервые разделил числа на четные и нечетные, простые и составные, ввел понятие фигурного числа. В его школе были подробно рассмотрены тройки натуральных чисел, у которых квадрат одного равнялся сумме квадратов двух других. Геометрия у Пифагора была подчинена арифметике. Это ярко проявилось в теореме, носящей его имя и ставшей в дальнейшем основой применения численных методов геометрии. Пифагору приписывают систематическое введение доказательств в геометрию, создание планиметрии прямолинейных фигур, учение о подобии. Пифагор одним из первых считал, что Земля имеет форму шара и является центром Вселенной.

В математике, в познании количественных отношений, видели пифагорейцы ключ к разгадке мировой гармонии, постижение которой и составляло смысл их жизни.

Отправным пунктом в пифагорейском учении о числе была музыка. Именно в музыке была впервые обнаружена таинственная направляющая роль чисел в природе. По преданию, сам Пифагор установил, что приятные слуху созвучия получаются лишь в том случае, когда длины струн, издающих эти звуки, относятся как целые числа первой четверки: 1:2, 2:3, 3:4. Это открытие потрясло Пифагора и долго вдохновляло его учеников на поиски новых числовых закономерностей в природе.

С этого времени музыка, точнее теория музыки или учение о гармонии, занимает почетное место в пифагорейской системе знаний. «Музыкантов»-пифагорейцев интересовало не столько музыкальное искусство, сколько те математические пропорции и соотношения, которые, как считалось, лежат в основе музыки. Идея музыкальных соотношений настолько увлекла пифагорейцев, что они пытались обнаружить их всюду.

Музыка и астрономия были сведены пифагорейцами к анализу числовых закономерностей, т. е. к арифметике и геометрии. Все четыре дисциплины стали считаться математическими и называться одним словом — «математа». Термины «наука» и «искусство» в далекие времена античности практически не различались. Пифагорейцы называли математику и музыку родными сестрами. Музыка пронизана математикой, как и математика полна поэзии и музыки. Это прекрасно чувствовали древние греки.

Гаммой, или звукорядом, называется последовательность звуков некоторой музыкальной системы, расположенных, начиная от основного звука, в восходящем или нисходящем порядке. Важнейшей характеристикой музыкального звука является его высота, представляющая отражение в сознании частоты колебания звучащего тела, например струны. Чем больше частота колебаний струны, тем «выше» представляется нам звук.

Согласованное сочетание двух звуков называется консонансом, а несогласованное — диссонансом. Ладом называется приятная для слуха взаимосвязь музыкальных звуков, определяемая зависимостью неустойчивых звуков от устойчивых, и прежде всего от основного устойчивого звука — тоники, и имеющая определенный характер звучания — наклонение.

Высота тона (частота колебаний f) звучащей струны обратно пропорциональна ее длине l. Две звучащие струны дают консонанс лишь тогда, когда их длины относятся как целые числа, составляющие треугольное число 10=1+2+3+4, т. е. как 1:2, 2:3, 3:4. Если в качестве цены деления шкалы монохорда взять отрезок l, равный 1/12 длины струны монохорда l1, то вместе со всей струной монохорда длины l1 = 12l будут созвучны ее части длины l2 = 6l — звук на октаву выше (l2/l1 = 1/2), l3 = 9l — звук на квинту выше (l3/l1=2/3) и l4= 8l — звук на кварту выше (l4/l1=3/4). Это созвучие и определяющие его числа 6, 8, 9, 12 назывались тетрада (четверка).

Квинта есть среднее гармоническое длин струн основного тона l1 и октавы l2, а кварта — среднее арифметическое l1 и l2. Октава есть произведение квинты на кварту. Октава так относится к квинте, как кварта к основному тону. Октава делится на два неравных консонансных интервала — квинту и кварту. Интервал, дополняющий данный интервал до октавы, называется его обращением.

К 1700 г. немецкий органист Андреас Веркмейстер осуществил смелое и гениально простое решение: он отказался от совершенных и несовершенных консонансов — квинт, кварт и терций, оставив в первозданной консонантной красе лишь одну октаву, и попросту разделил ее геометрически на 12 равных частей. Так в музыке восторжествовала темперация (лат. соразмерность), а новый двенадцатизвуковой строй был назван равномерно-темперированным.

Вначале, разумеется, были попытки улучшить чистый строй, который сохранял главный недостаток пифагорова строя: невозможность безболезненного перехода из тональности в тональность. Естественным желанием при решении этой проблемы было увеличить количество звуков в октаве.

Сейчас трудно сказать, кому первому пришла идея равномерно разделить октаву на 12 равных частей. Идея эта была подготовлена самой логикой развития музыкального строя и, как говорят в таких случаях, носилась в воздухе. Но изложение этой идеи мы находим в энциклопедическом труде Мерсенна «Универсальная гармония».

Конечно, и в век Просвещения новое не всеми воспринималось восторженно. Выдающийся немецкий композитор Георг Фридрих Гендель не принял новшества. Отказ от совершенных консонансов возмущал его. К счастью, равномерная темперация нашла сторонника в лице сверстника Генделя, великого немецкого композитора и органиста Иоганна Себастьяна Баха.

И все-таки является ли 12-звуковая равномерная темперация «абсолютной истиной» в музыке? Разумеется, нет! Спор Баха и Генделя продолжается. Музыкантов с особо тонким слухом раздражают «тупые» консонансы темперированного строя. Поиски новых равномерных темперации продолжаются. Разработаны 24-, 48- и 53-звуковые равномерные темперации. На каждую из них специально написана музыка и сконструированы музыкальные инструменты. Но все они практического распространения не получили.

П.И.Чайковский А.Н.Скрябин С.Рихтер

Диаграмма выбора интервалов учащимися

В ходе работы мы познакомились с пифагорейским учением о математике и музыке; на основе его разработали правила построения консонанса, доказали его математическую природу; с помощью исследования показали, что и сегодня пифагорейская теория консонансов может быть использована; убедились, что занятия музыкой благотворно влияют на математические способности учащихся. Таким образом, цель работы достигнута. В нашем исследовании мы провели параллель между двумя, казалось бы несовместимыми науками: музыкой и математикой.