Презентация "Математические софизмы" (9 класс) по математике – проект, доклад

Проект выполнил: Денис Панчук, ученик 9 класса МОУ СОШ №2 г.Петровска Научный руководитель: Зинаида Александровна Долгова, преподаватель математики МОУ СОШ №2 г.Петровска

Математические софизмы

Словам, звучащим и так, и иначе, Верни единство и правдивость! Пусть вольность только вольность значит, А справедливость – справедливость!

Софизм - умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям.

Что такое «софизм» ?

«Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях.» Н. И. Лобачевский

Аристотель называл софизмом «мнимые доказательства», в которых обоснованность заключения кажущаяся и обязана чисто субъективному впечатлению, вызванному недостаточностью логического или семантического анализа.

Аристотель

В софизмах используются многие особенности нашего повседневного языка. В нем обычны метафоры, т.е. обороты речи, заключающие скрытое уподобление, образное сближение слов на базе их переносного значения: «Неустанно ночи длинной. Сказка черная лилась, И багровый над долиной. Загорелся поздно глаз» Здесь «глаз» - метафора луны.

Ловушки языка

Многие слова и обороты многозначны. Например, слово «новый», как отмечается в словаре современного русского языка, имеет восемь значений, среди которых и «современный», и «следующий», и «незнакомый»… в языке есть омонимы – одинаково звучащие, но разные по значению слова (коса из волос, коса как орудие для косьбы и коса как узкая отмель, вдающаяся в воду).

Все эти особенности языка способны нарушить однозначность выражения мысли и вести к смешению значений слов, что создает благоприятную почву для софизмов.

к о с а

Исторически с понятием «софизм» неизменно связывают идею о намеренной фальсификации, руководствуясь признанием Протагора, что задача софиста — представить наихудший аргумент как наилучший, путём хитроумных уловок в речи, в рассуждении, заботясь не об истине, а об успехе в споре или о практической выгоде. По-видимому, первыми, кто понял важность семиотического анализа софизмов, были сами софисты. Анализ и примеры софизмов часто встречаются в диалогах Платона.

Протагор ( Платон) История софизмов

Софистами в Древней Греции называли философов-учителей, задачей которых было научить своих учеников «мыслить, говорить и делать». Будучи в большинстве случаев глубоко образованными людьми, они не столько передавали ученикам знания из различных областей науки, сколько стремились научить их владеть искусством словесных состязаний.

Древнегреческая школа

1) Возьмем в качестве исходного соотношения следующее очевидное равенство: 4:4= 5:5 2) После вынесения за скобки общего множителя из каждой части равенства будем иметь: 4∙(1:1)=5∙(1:1) или (2∙2)(1:1)=5(1:1) 3) Наконец, зная, что 1:1=1, мы из соотношения устанавливаем: 2∙2=5 А где ошибка?

Пример:

Нельзя выносить множитель за скобки, как это сделано в равенстве!

Пусть число x равно 1. Тогда можно записать, что x2 =1, или x2 – 1= 0, раскладывая x2 - 1 по формуле разности квадратов, получим (x+1)(x - 1)=0. Разделив обе части этого равенства на x-1, имеем х+1=0 и х= -1. Поскольку по условию х=1, то отсюда приходим к равенству 1= -1

«Единица равна минус единице»

Здесь ошибка совершена при переходе от равенства (x+1)(x - 1)=0 к равенству х+1=0 и х = -1. Действительно, этот переход совершен посредством деления на величину x – 1, которая по исходному условию равна нулю, а , как известно, деление на нуль запрещено.

В чем ошибка?

Равенство (x+1)(x - 1)=0, в силу того что x – 1 = 0, можно записать в виде равенства (x + 1)•0= 0, которое выполняется при любом значении x+1. Поэтому вывод о том, что x = -1, неправомерен.

Запишем очевидное для любого числа а тождество а2 – а2 =а2 – а2. Вынесем а в левой части за скобку, а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов, получив а(а – а)=(а + а)(а - а). Разделив обе части на (а - а), получим а = а + а, или а = 2а.

«Всякое число равно своему удвоенному значению»

Итак, всякое число равно своему удвоенному значению.

Ошибка совершена при переходе от равенства а(а – а)=(а + а)(а - а) к равенству a = 2a. В самом деле, число a – a, на которое делится первое равенство, равно нулю. Поэтому это равенство можно записать в виде a•0 = (a + a)•0, откуда, очевидно, следует, что число a слева и число a + a справа могут принимать любые, отнюдь не равные друг другу значения.

Почему равенство неверно?

Деление же обеих частей этого равенства на равное нулю число a – a приводит к бессмыслице.

Возьмем два произвольных неравных между собой числа а и b и запишем для них очевидное тождество a2 – 2ab + b2 = b2 – 2ab + a2 . Слева и справа стоят полные квадраты, т.е. можем записать (a– b)2=(b – a)2. Извлекая из обеих частей последнего равенства квадратный корень, получим a – b = b – a или 2a = 2b, или окончательно a = b.

«Все числа равны между собой»

Исходное тождество и равенство (a– b)2=(b – a)2. вполне справедливы. Но при переходе от этого равенства к равенству a – b = b – a была совершена ошибка. А именно: извлечение корня из обеих частей первого равенства сделано неправильно. В действительности же вместо равенства a – b = b – a из первого равенства должно следовать: |a - b|=|b - a|, которое вытекает из данных соотношений. Здесь необходимо рассмотреть два случая:

a – b >=0, тогда, очевидно, b -a 0,откуда следует, что - (a - b) = b – a, или a = a.

1.http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%85%D0%B8%D0%BB%D0%BB%D0%B5%D1%81_%D0%B8_%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BF%D0%B0%D1%85%D0%B0

Для тех, кто хочет разобраться в софизмах и парадоксах

2.http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BE%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%BC

3. http://rcio.pnzgu.ru/personal/99/1/5/