Конспект урока «Медиана, биссектриса и высота треугольника» по геометрии для 7 класса

Урок геометрии в 7 классе

Тема: Медиана, биссектриса и высота треугольника.

Цель: ввести новые понятия высоты, медианы и биссектрисы треугольника, показать их применение при решении задач.

Задачи:

• Ввести новые понятия высоты, медианы и биссектрисы треугольника.

• Способствовать формированию устойчивого познавательного интереса к изучению геометрии.

• Развивать логическое мышление учащихся.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Формы организации учебной деятельности: коллективная, индивидуальная, работа в парах.

Оборудование и наглядность урока: магнитофон, кассета с записью музыки для проведения музыкальной паузы, рисунок 1, модели треугольников, изготовленные из плотного цветного картона, с закреплёнными в вершинах цветными тесёмками (для каждого ученика и учителя), чертёж прямоугольного треугольника с изображением 3-х его высот, которые пересекаются в вершине прямого угла, весёлые рисунки геометрических зверят: биссектриса – крыса, медиана – обезьяна, высота похожа на кота, портреты Л. Эйлера и Архимеда, на каждой парте 3 треугольника из цветного картона с изображением на них высот, медиан, биссектрис (аппликация).

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Сообщение темы урока и постановка задач урока.

• Какая геометрическая фигура изображена на этом весёлом рисунке? Рис. 1. (Треугольник).

Рисунок 1

• А что называется треугольником? (Треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой и соединённых попарно отрезками).

• Сколько у него элементов? (6)

• Назовите элементы треугольника. (Три стороны и три угла).

• Кто из вас не слышал о загадочном Бермудском треугольнике, в котором бесследно исчезают корабли и самолёты? {Он находится в Атлантическом океане между Бермудскими островами, государством Пуэрто – Рико и полуостровом Флорида}.

• А ведь знакомый всем нам треугольник также таит в себе немало интересного и загадочного.

Зовётся он треугольник,
И с ним хлопот не оберётся школьник!

• Тема сегодняшнего урока: “Медиана, биссектриса и высота треугольника”.

Преодолеть хлопоты – трудности, связанные с новыми понятиями – медиана, биссектриса и высота треугольника – нам сегодня помогут три мои ассистентки (ученицы этого класса, подготовленные учителем заранее).

III. Объяснение нового материала.

1. Медиана.

• Начертите треугольник АВС и найдите середину стороны ВС – точку М. Рис.2

• Что называется серединой отрезка? (Серединой отрезка называется точка отрезка, которая делит его пополам, то есть на два равных отрезка).

Запись на доске: АМ = МС.

• Соедините точку М с вершиной В. Отрезок ВМ называется медианой треугольника.

Рисунок 2

Определение. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

• Сколько вершин у треугольника? (3).

• Сколько у него сторон? (3).

• Сколько медиан можно провести в треугольнике?(3).

• “Проведите” три медианы на моделях треугольников. (Ассистентки контролируют правильность выполнения задания, помогают в случае необходимости).

• Какое свойство медиан вы заметили? (В любом треугольнике все медианы пересекаются в одной точке).

• Эта точка называется центром тяжести треугольника.

• Решим номер 114 из учебника (стр. 37) у доски.

№114. Докажите, что в равных треугольниках медианы, проведённые к равным сторонам, равны. Рис. 3.

Дано:

АВС, А₁В₁С_1,
АС=А₁С₁,
АМ=МС,
А₁М₁=М₁С₁.

Доказать:

ВМ=В₁М_1.

Рисунок 3

Доказательство:

АВ = А₁В₁,

1.  АВС =  А₁В₁С₁ А = А₁,

АС = А₁С₁.

2. АС = А₁С₁,

АМ = МС,  АМ = А₁М₁.

А₁М₁ = М₁С₁

3. А = А₁,

АВ = А₁В₁,  АВМ = А₁В₁М₁ ВМ = В₁М₁, ч.т.д.

АМ = А₁М₁

2. Высота.

• С помощью чертёжного угольника из вершины В треугольника АВС проведём перпендикуляр ВН к прямой АС. Он называется высотой треугольника.

Запись на доске: ВН  АС, Н  АС. Рис. 4.

Рисунок 4

Определение. Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

• Сколько высот имеет треугольник? (3).

• “Постройте” все три высоты на модели вашего треугольника. (Ассистенты проверяют).

• Обладают ли высоты аналогичным свойством, что и медианы? (Да).

• У некоторых из вас модели прямоугольных треугольников. Где пересеклись их высоты? (В вершине прямого угла).

Учащимся показывается ответ на рисунке (плакат на доске). Рис. 5.

Рисунок 5

• Решим номер 103 из учебника (стр. 36) у доски.

№.103. Начертите треугольник АВС, у которого угол В – тупой. С помощью чертёжного угольника проведите его высоты.

Решение.

ВН₁ АС, АН₂ ВС, СН₃ АВ. Рис. 6.

Рисунок 6

• Вывод. Высоты или их продолжения пересекаются в одной точке. Эта точка называется ортоцентром.

Конечно, геометрия – наука серьёзная, и учить её надо серьёзно и вдумчиво. Но и забавные стихи и весёлые “геометрические” зверята помогают учению.

Для музыкальной паузы девочки выбрали различные образы, которые помогут нам в запоминании новых понятий – медиана, биссектриса и высота

Первая ассистентка.

Высота похожа на кота,
Который, выгнув спину,
И под прямым углом
Соединит вершину
И сторону хвостом. Рис. 7.

Рисунок 7

(Стихи иллюстрируются весёлым рисунком).

Вторая ассистентка.

Медиана-обезьяна,
У которой зоркий глаз,
Прыгнет точно в середину
Стороны против вершины,
Где находится сейчас. Рис. 8.

Рисунок 8

Третья ассистентка.

Биссектриса – это крыса,
Которая бегает по углам
И делит угол пополам. Рис. 9.

Рисунок 9

3. Биссектриса.

• Вспомните определение биссектрисы угла.

Определение. Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектрисой угла.

• Постройте биссектрису ВК угла В с помощью транспортира. Она пересечёт отрезок АС в точке К. Отрезок ВК называется биссектрисой угла В треугольника АВС.

Запись на доске: АВК = СВК, К  АС. Рис. 10.

Определение. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину угла треугольника с точкой противоположной стороны треугольника.

• Покажите все три биссектрисы на вашей модели треугольника. (Контроль со стороны учителя и ассистенток).

Рисунок 10

• Сформулируйте свойство биссектрис треугольника. (В любом треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке).

• Решим задачу по готовому чертежу. Рис. 11.

Дано:

АВK,
АС – биссектриса угла А.

Доказать:

АВС = АКС.

Рисунок 11

Доказательство:

АС – биссектриса А  ВАС = КАС

АВ = АК (по условию)  АВС = АКС, ч.т.д.

АС – общая сторона

IV. Контроль усвоения учащимися нового материала.

• Выполним тестовые задания.

1. Заполните пропуски в формулировках элементов треугольника и свойств геометрических фигур.

а) Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой ______________, называется ___________ треугольника.

(Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника).
б) Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом _____________.

(Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом единственный).

2. Верны ли следующие утверждения? (В случае “нет” напишите верный ответ).

а) В любом треугольнике можно провести три медианы. (Да).
б) Точка пересечения высот любого треугольника лежит внутри треугольника. (Не всегда).
в) Все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. (Да).

• Работа в парах. На каждой парте лежат три треугольника, разносторонние, разных цветов. На одном из них изображены три медианы, на другом – высоты, на третьем – биссектрисы.

• Покажите треугольник с изображением высот. (Фиолетовые и красные).

• Поднимите треугольник, на котором изображены медианы. (Синие, жёлтые и оранжевые).

• Покажите треугольник с изображением биссектрис. (Зелёные, чёрные).

(Учащиеся поднимают треугольники).

• Центр тяжести треугольника, его ортоцентр и точка пересечения биссектрис треугольника называются (особыми) замечательными точками треугольника.

Замечательные точки есть у треугольника.
Точка первая – она
Чувством гордости полна:
Медианы в ней пересекаются,
Центром тяжести та точка называется.
Ортоцентр – вторая точка,
Архимед её открыл,
Все высоты в ней встречаются,
Удивив учёный мир.
Третья точка – тоже важная
Биссектрисы всех углов,
Бросив вызов свой отважный,
В ней “сошлись”, не тратя слов.
Эйлер точки все заметил,
Свойства новые открыл, -
Так на радость школьникам
Возникла новая ветвь математики -
Геометрия треугольника.

• С какими новыми геометрическими понятиями вы сегодня познакомились? (Медиана, биссектриса, высота).

V. Подведение итогов урока.

1. Домашнее задание. Стр. 33 – 34, № 101, 102, 106.

2. Выставление оценок и их комментирование.

Литература.

1. Глейзер Г.И. История математики в школе 7 – 8 классы. М., Просвещение, 1985 г.

2. Проверочные работы с элементами тестирования по геометрии. 7 класс. Альхова З.Н., Саратов, Лицей, 2000 г.

3. http://www.etudes.ru/ru/forums/topic.php?post=84&