Конспект урока «Параллелепипед и его свойства» по геометрии для 10 класса

Конспект урока по геометрии для учащихся 10 класса средней общеобразовательной школы

Тема урока: «Параллелепипед и его свойства».

Цель урока:

• образовательная: формирование понятия параллелепипеда и ознакомление учащихся с его элементами и свойствами; решение задач на применение свойств параллелепипеда;

• развивающая: развитие логического мышления, памяти, внимания, умения планировать свою работу, ориентироваться в нестандартной ситуации;

• воспитательная: воспитание нравственных качеств личности, ответственности, самостоятельности, формирование интереса к изучению математики.

Тип урока: урок усвоения новых знаний (нестандартный).

Форма проведения: урок – лекция.

Методы обучения: индуктивно-репродуктивный, дедуктивно-эвристический, дедуктивно-репродуктивный.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, презентация, бланки для каждого учащегося (приложение).

Требования к ЗУН:

Учащиеся должны знать:

• определение параллелепипеда;

• элементы и свойства параллелепипеда.

Учащиеся должны уметь:

– доказывать свойства параллелепипеда и применять их при решении задач.

Литература:

1. Атанасян, Л.С. Геометрия, 10 – 11:Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – 13-е изд. – М.: Просвещение, 2006. - 256 с.

2. Гаврилова , Н. Ф. Поурочные разработки по геометрии, 10 класс: пособие для для общеобразоват. учреждений / Н. Ф. Гаврилова. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ВАКО, 2010. – 304 с.

3. Методика обучения математике в средней школе: Учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов / Г. И. Саранцев. - М.: Просвещение, 2002. – 224 с.

План урока:

1. Организационный момент (3 мин)

2. Вводная часть (5 мин)

3. Основная часть (34 мин)

4. Заключительная часть (3 мин)

Ход урока.

1. Организационный момент включает в себя приветствие учителем класса, проверку отсутствующих, готовность помещения к уроку.

2. Вводная часть.

(Для проведения викторины используется презентация (слайды 2 и 3). Сначала на экране появляется вопрос, затем после ответа учащихся появляется правильный ответ.)

Викторина:

1. Поверхность, имеющая два измерения.

Ответ: Плоскость.

2. Параллелограмм, у которого все углы прямые.

Ответ: Прямоугольник.

3. Отрезок, соединяющий любые две не соседние вершины многоугольника.

Ответ: Диагональ.

4. Угол, градусная мера которого 90°.

Ответ: Прямой.

5. Утверждение, не требующее доказательства.

Ответ: Аксиома.

6. Линия не имеющая ни начала, ни конца.

Ответ: Прямая.

7. Фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не лежащими в одной плоскости

Ответ: Двугранный угол.

8. Отрезок, соединяющий точку А с точкой, лежащей в плоскости α, отличный от перпендикуляра.

Ответ: Наклонная.

9. Предложение, выражающее свойство геометрической фигуры, требующее доказательства.

Ответ: Теорема.

10. Отрезок, соединяющий любые две не соседние вершины многоугольника.

Ответ: Диагональ.

3. Основная часть.

1. Параллелепипед и его элементы.

Учитель. Сегодня урок пройдет в виде лекции. Перед вами на столе лежат бланки с текстом, в котором имеются пропуски. Вам необходимо внимательно слушать лекцию и заполнять пропуски. (В конспекте слова, которые ученикам необходимо вписать, подчеркнуты.)

Рассмотрим два равных параллелограмма ABCD и A₁B₁C₁D₁, расположенных в параллельных плоскостях так, что отрезки AA₁, BB₁, CC₁ и DD₁ параллельны (слайд 4). (Обозначают параллелограммы на бланках).

Четырехугольники ABB₁A₁, ВСС₁В₁,CDD₁C₁ и DAA₁D₁ также являются параллелограммами. Почему, объясните?

Учащиеся. Так как каждый из них имеет попарно параллельные противоположные стороны.

Учитель. Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов ABCD и A₁B₁C₁D₁ и четырех параллелограммов ABB₁A₁, ВСС₁В₁, CDD₁C₁ и DAA₁D₁, называется параллелепипедом и обозначается так ABCDA₁B₁C₁D₁(допишите необходимое в листочек). Запишите себе в бланк.

Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед называются гранями. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ гранями являются параллелограммы АВСD, A₁B₁C₁D₁, AA₁B₁B, DD₁C₁C, BB₁C₁C, AA₁D₁D. Стороны граней называются ребрами параллелепипеда. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ отрезки АВ, ВС, СD, DA, A₁B₁,B₁C₁, C₁D₁, D₁A₁, AA₁, BB₁, CC₁, DD₁ являются ребрами. Вершины параллелограммов называются вершинами параллелепипеда. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точки A, B, C, D, A₁, B₁, C₁, D₁ являются вершинами.

Сколько граней имеет параллелепипед?

Учащиеся. Параллелепипед имеет шесть граней.

Учитель. Почему?

Учащиеся. Потому что параллелепипед составлен из шести параллелограммов. (слайд 5)

Учитель. Сколько ребер имеет параллелепипед?

Учащиеся. Двенадцать ребер (слайд 6).

Учитель. Сколько вершин имеет параллелепипед?

Учащиеся. Восемь вершин (слайд 7). Заносите записи в свои бланки.

Учитель. Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро, называются смежными (например грани AA₁D₁D и A₁B₁C₁D₁), а не имеющие общих ребер – противоположными (например АВСD и А₁В₁С₁D₁). Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда (слайд 8).

Сколько диагоналей имеет параллелепипед?

Учащиеся. Каждый параллелепипед имеет четыре диагонали.

Учитель. Обозначим их на чертеже. АС₁, ВD₁, A₁C, ВD₁ – диагонали параллелограмма ABCDA₁B₁C₁D₁.

Учитель. Не забывайте заполнять пропуски в листочках.

Часто выделяют какие-нибудь две противоположные грани и называют их основаниями (слайд 9), а остальные грани – боковыми гранями параллелепипеда.

2. Свойства параллелепипеда.

Учитель. Две грани параллелепипеда называются параллельными, если их плоскости параллельны.

Свойство 1: Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны (слайд 10) (запишем в листочки).

На протяжении доказательства заполняем пропуски в листочках.

Доказательство:

Докажем, например, параллельность и равенство граней ABB₁A₁, DСС₁D₁. Так как ABCD и DAA₁D₁ параллелограммы, то что из этого следует?

Ученик. Что АВ||DC, AA₁||DD₁.

Учитель. Таким образом, две пересекающиеся прямые АВ и AA₁ одной грани соответственно параллельны двум пересекающимся прямым DC и DD₁ другой грани. Отсюда по признаку параллельности плоскостей следует, что грани параллельны.

Какие это грани?

Учащиеся. Грани ABB₁A₁ и DСС₁D₁.

Учитель. Докажем теперь равенство этих граней. Так как все грани параллелепипеда - параллелограммы, то АВ=DC и AA₁=DD₁. По этой же причине стороны углов A₁AB и D₁DC соответственно сонаправлены, и, значит, эти углы равны.

Что из этого следует?

Учащиеся. Что две смежные стороны и угол между ними параллелограмма АВВ₁А₁ соответственно равны двум смежным сторонам и углу между ними параллелограмма DCС₁D₁, поэтому эти параллелограммы равны.

Учитель. Свойство 2: Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. (запишем в листочки).

На протяжении доказательства так же заполняем пропуски в листочках.

Доказательство:

Чтобы доказать это свойство, рассмотрим четырехугольник A₁D₁CB, диагонали которого A₁C и D₁B являются диагоналями параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ (слайд 11).

Так как A₁D₁||BC и A₁D₁=BC, то что из этого следует?

Учащиеся. A₁D₁CB – параллелограмм.

Учитель. Поэтому диагонали A₁C и D₁B пересекаются в некоторой точке О и этой точкой, делятся пополам.

Далее рассмотрим четырехугольник AD₁C₁B (слайд 12).

Он также является параллелограммом и, следовательно, что можно сказать про диагонали?

Учащиеся. Что его диагонали A₁C и D₁B пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Учитель. Но серединой диагонали D₁B является точка О. Таким образом, диагонали A₁C, D₁B и АС₁ пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам.

Наконец, рассматривая четырехугольник А₁В₁СD точно так же устанавливаем, что и четвертая диагональ параллелепипеда DB₁ проходит через точку О и делит ею пополам (слайд 13).

3. Решение задач.

Задача №77. Сумма всех ребер параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равна 120 см. Найдите каждое ребро параллелепипеда, если .

Запись на доске и в тетрадях:

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ – параллелепипед,

АВ+ВС+СD+DA+A1B1+B1C1+C1D1+D1A1+AA1+BB1+CC1+DD1=120 см,

Найти: АВ, ВС, СD, DA, A1B1, B1C1, C1D1, D1A1,AA1, BB1, CC1, DD1

Решение:

Учитель. Что называется параллелепипедом?

Ученик. Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов ABCD и A₁B₁C₁D₁ и четырех параллелограммов ABB₁A₁, ВСС₁В₁, CDD₁C₁ и DAA₁D₁, называется параллелепипедом.

Учитель. Обозначим одно из ребер через х. Выразим через х ребра АВ, ВС.

Ученик. Пусть ВВ1=х. Тогда ,

Запись на доске и в тетрадях:

Пусть ВВ1=х. Тогда ,

Из условия задачи

;

Ответ: 12, 8, 10 см.

Задача № 78. На рисунке изображен параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ , на ребрах которого отмечены точки M, N, M1 и N1 так, что АМ=CN=A1M1=C1N1. Докажите, что МВNDM1B1N1D1 – параллелепипед.

Запись на доске и в тетрадях:

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ – параллелепипед, МАВ, М1∊ А1В1, N∊DC, N1∊D1C1, АМ=CN=A1M1=C1N1.

Доказать, что МВNDM1B1N1D1 – параллелепипед.

Доказательство:

Учитель. Рассмотрим четырехугольник MBND. Докажем, что этот четырехугольник параллелограмм.

Ученик. ABCD – параллелограмм по условию, значит АВ=CD.

Запись на доске и в тетрадях:

ABCD – параллелограмм по условию, значит АВ=CD.

Учитель. Из чего следует равенство ВМ и DN?

Ученик. АВ – АМ = CD – CN, то есть ВМ=DN.

Запись на доске и в тетрадях:

АВ – АМ = CD – CN, то есть ВМ=DN.

Ученик. По признаку параллелограмма, MBND – параллелограмм.

Запись на доске и в тетрадях:

ВМDN, BM=DN →по признаку параллелограмма, MBND – параллелограмм.

Ученик. Аналогично, N1B1M1D1 – параллелограмм. NDM=∠N1D1M1 как углы с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами.

Запись на доске и в тетрадях:

NDM=∠N1D1M1

Учитель. Что можем сказать о равенстве параллелограммов MBND и M1B1N1D1?

Ученик. Параллелограммы MBND и M1B1N1D1равны, так как равны их соответствующие стороны и угол между ними.

Запись на доске и в тетрадях:

MBND = M1B1N1D1(МВ=М1В1, M1D1=MD)

Учитель. Докажем, сто А1М1МА, С1NN1C – параллелограммы.

Ученик. А1М1=АМ, поэтому А1М1МА – паралеллограмм.

Запись на доске и в тетрадях:

А1М1=АМ, поэтому А1М1МА – паралеллограмм, М1М‖А1А‖В1В.

Ученик. Аналогично, С1NN1C – параллелограмм. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны, поэтому ММ1=ВВ1=СС1=NN1=DD1.

Запись на доске и в тетрадях:

ММ1=ВВ1=СС1=NN1=DD1.

Ученик. По признаку параллелограмма четырехугольники МВВ1М1, BNN1B1, DNN1D1 и MDD1M1 – параллелограммы. По определению МВNDM1B1N1D1 – параллелепипед.

Запись на доске и в тетрадях:

По признаку параллелограмма четырехугольники МВВ1М1, BNN1B1, DNN1D1 и MDD1M1 – параллелограммы. По определению МВNDM1B1N1D1 – параллелепипед.

4. Заключительная часть.

Учитель. Сегодня у вас был нестандартный урок – урок-лекция. Результатом этого урока оказался бланк с теоретическим материалом, который вы дополняли на протяжении лекции.

Что же называется параллелограммом?

Учащиеся. Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов ABCD и A₁B₁C₁D₁ и четырех параллелограммов ABB₁A₁ ВСС₁В₁, CDD₁C₁, DAA₁D₁, называется параллелограммом.

Учитель. Сколько граней, ребер и вершин имеет параллелепипед?

Учащиеся. Параллелепипед имеет 6 граней, 12 ребер и 8 вершин.

Учитель. Дома вам необходимо выучить содержание этой лекции, а именно определение параллелограмма, его элементы, свойства с доказательствами.

«Параллелепипед и его свойства».

1. Параллелепипед и его элементы.

Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов ABCD и A₁B₁C₁D₁ и четырех параллелограммов ABB₁A₁ ВСС₁В₁, CDD₁C₁ и DAA₁D₁, называется_____________________________________обозначается так __________________.

Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед называются ________________. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ гранями являются параллелограммы_________________________________________________________________________. Стороны граней называются ______________________________________________________. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ отрезки __________________________________________

являются ребрами. Вершины параллелограммов называются _________________________ параллелепипеда. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точки __________________________________________являются вершинами.

Параллелепипед имеет граней, ребер и вершин. Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро, называются _____________________(например грани _______________и_________________), а не имеющие общих ребер –___________________________________(например _________и___________). Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется ________________________ параллелепипеда. Каждый параллелепипед имеет __________ диагонали._____________________________– диагонали параллелограмма ABCDA₁B₁C₁D₁.

Часто выделяют какие-нибудь две противоположные грани и называют их ____________________, а остальные грани – _________параллелепипеда.

2. Свойства параллелепипеда.

Свойство 1: Противоположные грани параллелепипеда и ________________.

Дано: ABCD A₁B₁C₁D₁-параллелепипед, А A₁B₁B|| DСС₁D₁, А A₁B₁В= DСС₁D₁,

Доказательство:

Докажем, например, параллельность и равенство граней ABB₁A₁ и DСС₁D₁. Так как ABCD и DAA₁D₁ _________________________________,то АВ||DC и AA₁||DD₁. Таким образом, две пересекающиеся прямые АВ и AA₁ одной грани соответственно двум пересекающимся прямым DC и DD₁ другой грани. Отсюда по параллельности _________________ следует, что грани ABB₁A₁ и DСС₁D₁ ____________________.

Докажем теперь равенство этих граней. Так как все грани параллелепипеда - _____________________________, то АВ=DC и AA₁=DD₁. По этой же причине стороны углов A₁AB и D₁DC соответственно сонаправленны, и, значит, эти углы _____. Таким образом, две смежные стороны и угол между ними параллелограмма АВВ₁А₁ соответственно двум смежным сторонам и углу между ними параллелограмма DCС₁D₁, поэтому эти параллелограммы ________________.

Свойство 2: Диагонали параллелепипеда пересекаются в ________ и делятся этой точкой .

Дано: ABCD A₁B₁C₁D₁-параллелепипед, A₁С D₁ B, A₁О=ОС, D₁О=ОВ.

Доказательство:

Чтобы доказать это свойство, рассмотрим четырехугольник A₁D₁CB, диагонали которого A₁C и D₁B являются диагоналями параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ .

Так как A₁D₁ || BC и A₁D₁ = BC, то A₁D₁CB –_____________________________________. Поэтому диагонали A₁C и D₁B пересекаются в некоторой точке О и этой точкой________________________________.

Далее рассмотрим четырехугольник AD₁C₁B .

Он также является ________и, следовательно, его диагонали A₁C и D₁B пересекаются и точкой пересечения _________________________. Но серединой диагонали D₁B является точка О. Таким образом, ____________________ A₁C, D₁B и АС₁ пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам.

А