Презентация "Перпендикулярность прямых и плоскостей" (10 класс) по математике – проект, доклад

Перпендикулярность прямых и плоскостей

Определение. Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

Теорема 3.1 Если две пересекающие прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны.

a b a1 b1 C C1 A A1 B B1

Задача № 3 (П 14). Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны. Найдите отрезок CD, если АВ = 3 см, ВС = 7 см, АD = 1,5 см.

А В С D

Дано: АВ АС, АВ АD, AD AC. АВ = 3 см, ВС = 7 см, АD = 1,5 см.

3 см 7 см 1,5 см Найти CD. ?

Решение: 1) АВС – прямоугольный,

по теореме Пифагора АС2 = ВС2 – АВ2 = 49 – 9 = 40, АС = см.

2) АСD – также прямоугольный,

по теореме Пифагора СD2 = AC2 + AD2 = = 40 + 2,25 = 42,25. CD = cм = 6,5 см.

Ответ: CD = 6,5 см.

Задача № 3 2) (П 14). Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны. Найдите отрезок CD, если ВD = 9 см, ВС = 16 см, АD = 5 см.

Дано: АВ АС, АВ АD, AD AC. BD = 9 см, ВС = 16 см, АD = 5 см.

16 см 5 см

Решение: 1) АВD – прямоугольный,

по теореме Пифагора АB2 = ВD2 – АD2 = 81 – 25 = 56, АС = см.

2) АСB – также прямоугольный,

по теореме Пифагора AC2 = BC2 - AB2 = = 256 - 56 = 200. AC = cм.

Ответ: CD = 15 см. 9 см

3) ACD – прямоугольный, CD2 = AC2 +AD2= = 200 + 25 = 225, CD = 15 см.

Перпендикулярность прямой и плоскости.

Определение. Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения данной прямой и плоскости

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Теорема 3.2 Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.

c x X A2

Свойства перпендикулярных прямой и плоскости.

Теорема 3.3 Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

a2 x2 x1

Теорема 3.4 Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

а • С В1

Перпендикуляр и наклонная.

АВ - перпендикуляр, расстояние от точки до плоскости. В – основание перпендикуляра. АС – наклонная, С- основание наклонной. ВС – проекция наклонной

Задача Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 15 см и 20 см. Разность проекций этих наклонных равна 7 см. Найдите проекции наклонных.

20 см 15 см О

Дано: АВ и АС – наклонные к плоскости

АО , АВ = 20 см, АС = 15 см, ВС = 7 см.

Найти: ВО и СО. Решение:

1) Найдём площадь АВС по формуле Герона: .

p = (a+b+c)/2 = (20+15+7)/2 = 21 см.

= 7·6 = 42 см2. 2)

, АО = 2·42/7 = 84/7 = 12 см.

12 см

АOС – прямоугольный, по теореме Пифагора ОС2 = АС2 – АО2 = 225 – 144 = 81,

ОС = 9 см.

4) ОВ = ВС + ОС = 7 + 9 = 16 см.

Ответ: 9 см и 16 см.

Задача 24 2) Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины наклонных, если наклонные относятся как 1:2, а проекции наклонных равны 1 см и 7 см.

2 х 1 х

АО , АВ : АС = 2 : 1, ВО = 7 см, СО = 1 см.

Найти: АВ и АС. Ответ: 4 см и 8 см. 1 см

Пусть АВ = 2х см, АС = х. В АВО АО2 = АВ2 – ОВ2 = 4х2 – 49,

В АСО АО2 = АС2 – СО2 = х2 – 1.

Т. к. левые части этих равенств равны, то

равны и правые: 4х2 – 49 = х2 – 1, 3х2 = 48, х2 = 16, х = 4.

Таким образом, АС = 4 см, АВ = 8 см.

Задача 23 Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 10 см и 17 см. Разность проекций этих наклонных равна 9 см. Найдите проекции наклонных.

17 см 10 см

АО , АВ = 17 см, АС = 10 см, ВС = 9 см.

p = (a+b+c)/2 = (17+10+9)/2 = 18 см.

= 9·4 = 36 см2.

, АО = 2·36/9 = 72/9 = 8 см.

8 см

АВС – прямоугольный, по теореме Пифагора ОС2 = АС2 – АО2 = 100 – 64 = 36,

ОС = 6 см.

4) ОВ = ВС + ОС = 9 + 6 = 15 см.

Ответ: 6 см и 15 см. 6 см

Задача 24 1) Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины наклонных, если одна из них на 26 см больше другой, а проекции наклонных равны 12 см и 40 см.

(х + 26 )см х см 40 см

АО , АС = х см, АВ = х+26 см, СО = 12 см, ОВ = 40 см.

Ответ: 15 см и 41 см. 12см

Пусть АС = х см, АВ = (х+26) см. В АВО АО2 = АВ2 – ОВ2 = (х+26)2 – 402,

В АСО АО2 = АС2 – СО2 = х2 – 122.

равны и правые: (х+26)2 – 402 = х2 – 122, х2 +52х+676 – 1600 = х2 -144, 52х = 780, х = 15 см.

Таким образом, АС = 15 см, АВ = 41 см.

Теорема о трёх перпендикулярах.

Теорема 3.5 Если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна наклонной. Обратная теорема Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

А1 с

Задача № 48. Из вершины равностороннего треугольника АВС восставлен перпендикуляр AD к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до стороны ВС, если AD = 13 см, ВС = 6 см.

F 13 см

Дано: АВС – равносторонний, АВ=ВС=АС= 6 см, АD (АВС), АD=13 см.

Найдите: (D; BC).

Решение: Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведённого из данной точки до прямой. Поэтому, из точки D опустим перпендикуляр DF на прямую ВС.

По теореме о трёх перпендикулярах AF BC,

т.к. треугольник АВС- равносторонний, то АF –медиана, т.е. BF=FC= 3 см.

АFC – прямоугольный. По теореме Пифагора AF2 = AC2 – CF2 = 36 – 9 = 27, AF = см.

ADF – прямоугольный, DF2 = AD2 + AF2 = 169 + 27 = 196, следовательно DF = 14 см.

Ответ: 14 см.

Задача . Стороны треугольника 15 см, 26 см и 37 см. Через вершину среднего по величине угла проведён перпендикуляр в его плоскости, равный 9 см. Найдите расстояние от концов этого перпендикуляра до противоположной стороны.

37 см 26 см

Решение: Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведённого из данной точки до прямой. Поэтому, из точки В опустим перпендикуляр ВF на прямую ВС.

По теореме о трёх перпендикулярах DF AC.

BF найдём из треугольника АВС.

Найдём площадь треугольника АВС по формуле Герона.

p = (a+b+c)/2 = (15+26+37)/2 = 39,

S = = 13·3·4 = 156 (см2). S= AC·BF,

BF = 2·S/AC= 2·156 / 26 = 12 см.

Треугольник DFB – прямоугольный.

По теореме Пифагора DF2 = DB2 + BF2 ,

DF2 = 81 + 144 = 225, DF = 15 см.

Ответ: 12 см и 15 см.

Задание на дом: П. 19,

Задача . Из вершины треугольника АВС восставлен перпендикуляр ВD к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до стороны АС, если ВD = 9 см, АВ = 15 см, ВС = 20 см, АС = 7 см.

Решение: Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведённого из данной точки до прямой. Поэтому, из точки D опустим перпендикуляр DF на прямую АС.

По теореме о трёх перпендикулярах BF AC.

Вычислим площадь треугольника АВС по формуле Герона.

p = (a+b+c)/2 = (15+20+7)/2 = 21,

= 7·6 = 42 (см2).

BF = 2·S/AC= 2·42 / 7 = 12 см.

DF 2 = 81 + 144 = 225, DF = 15 см.

Ответ: 15 см.

Перпендикулярность плоскостей.

Определение. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей пересекает их по перпендикулярным прямым.

Признак перпендикулярности плоскостей.

Теорема 3.6 Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Задача № 59 1) Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и ВD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если: АС = 6 м, ВD = 7 м, СD = 6 м.

•

Дано: , А , В , АС CD, BD CD АС = 6 м, ВD = 7 м, СD = 6 м. Найти: АВ.

6 м 7 м

Решение: BCD – прямоугольный,

900

по теореме Пифагора ВС2 = СD2 + BD2,

ВС2 = 36 +49 = 85, ВС = м.

АВС – прямоугольный,

по теореме Пифагора АВ2 = АС2 + ВС2,

АВ2 = 36 + 85 = 121, АВ = 11 м.

Ответ : 11 м.

Задача Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и ВD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если: АС = м, ВD = 5 м, СD = 7 м.

Дано: , А , В , АС CD, BD CD АС = м, ВD = 5 м, СD = 7 м. Найти: АВ.

м 5 м

Задача. Из меньшего угла треугольника со сторонами 9 см, 10 см и 17 см восставлен перпендикуляр к его плоскости, равный 15 см. Найдите расстояния от концов этого перпендикуляра до прямой, содержащей противолежащую сторону.

1) Т.к. АВС - тупоугольный, то перпендикуляр, проведённый из точки В, мы должны провести на продолжение стороны АС.

2) Найдём площадь АВС по формуле Герона:

p=(a + b + c): 2= (9 + 10 + 17): 2 = 18 (см),

3)

, ВF = (2·S) : АС = (2· 36) : 9 = 8 (см).

4)

DF AC по теореме о трёх перпендикулярах.

DBF – прямоугольный, поэтому

DF 2 = BD 2 + BF 2 = 15 2 + 8 2 = 225 + 64 = 289,

DF = 17 см. Ответ: 8 см и 17 см.

Задание на дом: П 20, задачи № № 25, 59 3),

К задаче № 25 33 см 23 см 3х 2х

Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 23 см и 33 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости, если проекции наклонных относятся как 2:3.

СПАСИБО ЗА СОВМЕСТНУЮ РАБОТУ. До свидания.