Презентация "Эта замечательная парабола.." по математике – проект, доклад

РАССМАТРИВАЯ ПАРАБОЛУ.

( по материалам «Математического клуба “Кенгуру”»)

Аполлоний Пергский (Ἀπολλώνιος ὁ Περγαῖος, Перге, 262 до н. э. — 190 до н. э.) — древнегреческий математик, один из трёх (наряду с Евклидом и Архимедом) великих геометров античности, живших в III веке до н. э. Аполлоний прославился в первую очередь монографией «Конические сечения» (8 книг), в которой дал содержательную общую теорию эллипса, параболы и гиперболы. Именно Аполлоний предложил общепринятые названия этих кривых; до него их называли просто «сечениями конуса». Он ввёл и другие математические термины, латинские аналоги которых навсегда вошли в науку, в частности: асимптота, абсцисса, ордината, аппликата «Парабола» означает приложение или притча. Долгое время так называли линию среза конуса, пока не появилась квадратичная функция.

Подумаем, как можно получить массу информации о коэффициентах квадратного трехчлена у =ах2 + bх + с, рассматривая его график — параболу. Сначала напомним хорошо известные факты. 1) Знак коэффициента а (при х2) показывает направление ветвей параболы: а > 0 — ветви вверх; а < 0 — ветви вниз. Модуль коэффициента а отвечает за «крутизну» параболы: чем больше |a|, тем «круче» парабола.

2) Коэффициент b (вместе с а) определяет абсциссу вершины параболы: В частности, при а = 1 абсцисса вершины квадратного трехчлена у = х2 + bх +с равна При b > 0 вершина расположена левее оси Оу, при b < 0 — правее, при b = 0 — на оси Оу

3) Сохраняя коэффициенты a и b и изменяя с, мы будем «поднимать» и «опускать» параболу вдоль оси оу. Как «прочитать» на чертеже значение с? Ясно, что с = у(0) — ордината точки пересечения параболы с осью Оу.

Упражнение № 1.

Для каждого из квадратных трехчленов:

найдите на чертеже его график.

а > 0 — ветви вверх; а < 0 — ветви вниз.

чем больше |a|, тем «круче» парабола. Значит:

Решение . Упражнение 1

Упражнение №2

Для каждого их квадратных трехчленов

Решение . Упражнение 2

При b > 0 – вершина расположена левее оси Оу, при b < 0 — правее, при b = 0 — на оси Оу

при a >0

при a <0; b< 0 график располагается левее оси ОУ,

при a <0; b> 0 график располагается правее оси ОУ,

А теперь, когда мы вспомнили как влияют коэффициенты на построение графика параболы выполним следующие упражнения:

Упражнение №3

На чертеже изображены графики функций

а) Где какой график? б) Что больше: с или 1? в) Определите знак b.

Решение . Упражнение 3

б) с > 1 а) в) b > 0 (a <0)

Упражнение №4

причем ось оу , идущая, как всегда, «снизу вверх» перпендикулярно оси ох, стерта. а) Какая функция имеет график 1 , а какая -2? б) Определите знаки c и d . в) Определите знак b.

Решение . Упражнение 4

б) c >0; d< 0. в) b<0

Упражнение №5

На чертеже изображены графики функций у = х2 + 4х + с, у = х2 + bx + d и у = х2 + 1, причем ось Ох, идущая, как всегда, «слева направо» перпендикулярно оси Оу, стерта. а)Какая функция имеет график 1, какая — 2, а какая — 3? б)Определите знак Ь. в)Что больше: с или d? г)Определите знаки с и d.

Решение . Упражнение 5

а)Какая функция имеет график 1, какая — 2, а какая — 3? б)Определите знак b. в)Что больше: с или d? г)Определите знаки с и d.

– 2 – 3 – 1 б) b<0 в) с >d г) c и d больше нуля 1 2 3

Упражнение №6.

На чертеже изображены графики функций у = ах2 + х + с и у = –х2 + bх + 2, причем оси Оу и Ох, расположенные стандартным образом (параллельно краям листа, Ох — горизонтально «слева направо», Оу — вертикально («снизу вверх»), стерты. а) Определите знак b. б) Определите знак с. в) Докажите, что

Решение . Упражнение 6

а) Определите знак b б) Определите знак с. в) Докажите, что

у = aх2 + х + с у = –х2 + b х + 2

1) Ветви параболы у = aх2 + х + с направлены вверх, значит а>0 , знак абсциссы вершины параболы минус. Тогда , у параболы у = –х2 + b х + 2 абсцисса тем более отрицательна. Значит b<0. 2) Ось оу проходит правее вершины параболы у = aх2 + х + с значит c<0. 3) Абсцисса вершины параболы равна ,

а ордината равна . Ордината вершины параболы равна . Сравним их: т.е ч.т. д.

Решение упражнений основывается на тех фактах, которые мы знаем о коэффициентах квадратного трехчлена. Свойства параболы чрезвычайно богаты и разнообразны, используя их решите следующую задачу.

Задача.

Известно, что парабола, являющаяся графиком квадратного трехчлена у = ах2 + 10х + с, не имеет точек в третьей четверти. Какое из следующих утверждений может быть неверным? (A) а>0 (B) Вершина параболы лежит во второй четверти. (C) с ≥ 0 (D) c > 0,1 (Е) 1ОО – 4 ас ≤ 0.

Решение.

Поскольку парабола не имеет точек в III четверти, то не может быть отрицательным. Итак, ,следовательно, абсцисса вершины х0 < 0. То есть вершина не может лежать ни в I, ни в IV четвертях. В III четверти ее нет по условию, значит, она лежит во II четверти. Итак, парабола обязана иметь такой вид, как показано на рисунке, поэтому условия А, В и С обязательно выполняются. Неравенство в Е означает, что дискриминант неположителен, то есть у квадратного трехчлена не более одного корня, — это условие тоже обязательно выполняется. Условие с > 0,1 ни из чего не следует. Действительно, оно может быть нарушено, например, для параболы у = х2 + 10х + 0,01, удовлетворяющей условиям задачи. Ответ: (D).

Самые близкие родственники параболы – это окружность, гипербола и эллипс.

У этого термина существуют и другие значения. (литература) Пара́бола «сравнение, сопоставление, подобие, приближение»: Небольшой рассказ иносказательного характера, имеющий поучительный смысл и особую форму повествования, которое движется как бы по кривой (параболе): начатый с отвлечённых предметов, рассказ постепенно приближается к главной теме, а затем вновь возвращается .