Конспект урока «Использование прогрессий для решения задач» по математике

Пашина Л. В.

ГБОУ гимназия №399, Санкт-Петербург

Использование прогрессий для решения задач.

Предлагаю вашему вниманию урок, который я провожу при изучении темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии» в 9 классе. Материал урока позволяет показать способ решения экономических задач с использованием прогрессий, связать ранее изученный материал с практикой, научит применять математические знания в жизни.

Цели урока:

Расширить представления учащихся о числовых последовательностях, изучить свойства арифметической и геометрической прогрессии, развить умение решать задачи на проценты. Развивать умения выполнять индуктивные умозаключения, подмечать закономерности и выражать их на математическом языке. Научить переводить реальные задачи на математический язык.

Ход урока:

1. Организационный момент.

Учитель организует работу учащихся.

2. Актуализация знаний:

Устная работа по вопросам:

1). Какая числовая последовательность называется арифметической прогрессией?

2). Какая числовая последовательность называется геометрической прогрессией?

3). Какая из представленных последовательностей является арифметической, геометрической и почему?

На доске следующие записи:

1. 7,5; 9; 10,5; 12….d=1,5

2. 3, 5 9, 11 17….. не является прогрессией

3. , , , ….

4. , , , ….

5. 10; 10; 10; 10…. q=1, d=0

4).Назвать первые пять членов арифметической и геометрической прогрессий:

3, 6 ….

Мы повторили определения арифметической и геометрической прогрессий. Далее попробуем соотнести данные понятия с понятиями из экономики: сложные и простые проценты.

3. Изучение нового материала.

Простые проценты:

Постоянно за определенный промежуток времени начисляется одна и та же сумма, определенная количеством процентов.

a_n+1 = a₁+n^.d, d=a₁^.p/100

a_n+1 = a₁(1+p^.n/100), где p – проценты.

Сложные проценты

Увеличение значения в одно и тоже число раз по сравнению с предыдущим значением.

b_n+1 = b₁^.qn

q = 1 + p/100

4. Закрепление материала.

Задачи:

1. Через три года в банке оказалось 880 руб., положенных под 40% (простые) годовых. Каков первоначальный вклад?

Решение:

a₄ = 880 a₄ = a₃ + 3d, d = a₁^.p/100 = a₁^.40/100 = 0,4a₁

p = 40% 880 = a₁ + 1,2a₁

n=3 880 = 2,2a₁

a₁ - ? a₁ = 400

Ответ: первоначальный вклад 400 руб.

2. 750 руб. положили в банк и через 4 года получили сумму вдвое больше. Под сколько процентов (простых) положили деньги?

Решение:

a₁ = 750 a₅ = a₄ + 4d, d = a₁^.p/100 = p^.750/100 = 7,5p

a₅ = 1500 1500 = 750 + 30p

n=4 750 = 30p

p - ? p = 25%

Ответ: 25%.

3. На сколько лет надо положить 1000 руб. по 20% (сложные), чтобы получить 1440 руб.?

Решение:

b₁ = 1000 b_n+1 = b₁^.qⁿ, q = 1 + p/100 = (1 + 0,2) = 1,2

p = 20 1440 = 1000^.1,2ⁿ

b_n+1 = 1440 1,44 = 1,2ⁿ

n = 2

Ответ: на 2 года.

Задачу 1 учитель решает на доске, задачу 2 учащиеся самостоятельно, а задачу 3 – самостоятельно, но с комментариями учителя.

Таким образом, мы решили задачи на простые проценты, которые являются прообразом арифметической прогрессии, и на сложные проценты, которые являются прообразом геометрической прогрессии.

4. Предположим следующую ситуацию.

Мы заработали определенную сумму денег и перед нами стоит задача в какой банк выгоднее вложить деньги.

Найдем в исследуемых банках рекламные проспекты с информацией о процентных ставках, которые предлагает банк населению.

Предположим, что мы рассматриваем следующие банки:

Банк 1 – простые из расчета 3% в месяц.

Банк 2 – простые из расчета 40% в год.

Банк 3 –сложные из расчета 30% в год.

В какой из этих банков выгоднее вложить 500 рублей на 3 года?

Решение:

Банк 1.

a₁ = 500 a₃₇ = a₁ + 36d, d = a₁^.30/100 = 15

p = 3 a₃₇ = 500 + 36^.15 = 1040 руб.

n=36

a₃₇ - ?

Банк 2.

a₁ = 500 a₄ = a₁ + 3d, d = a₁^.30/100 = 15

p = 40 a₄ = 500 + 3^.40^.500/100 = 1100 руб.

n=3

a₄ - ?

Банк 3.

b₁ =500

n = 3 b₄ = b₁^.qⁿ, q = 1 + p/100 = (1 + 0,3) = 1,3

p = 30 b₄ = b₁^.qⁿ = 500 ^. 1,3³ = 1098,5 руб.

Ответ: выгоднее вложить в 2 банк.

5. Под какие проценты сделан вклад в банк, если сумма на счете каждый месяц увеличивается:

1). в 1,1 раза

2). 1,05 раза,

3). в 1,5 раза

4). в 1,15 раза?

В каждом случае определить сумму на счете через 4 месяц, считая, что начальный вклад составляет 100000 руб.

Решение:

q₁ = 1,1

q₂ = 1,05

q₃ = 1,5

q₄ = 1,15

q = 1 + p/100

p₁ = 10%

p₂ = 5%

p₃ = 50%

p₄ = 15%

b₁ = 100000 b₅=b₁^.q⁴

n = 4,

1). b₅ = 100000^.1,1⁴ = 146410 (руб.)

2). b₅ = 100000^.1,05⁴ = 121550146410 (руб.)

3). b₅ = 100000^.1,5⁴ = 506250146410 (руб.)

4). b₅ = 100000^.1,15⁴ = 174900146410 (руб.)

Вывод: чем больше ставка, тем больше доход.

Дополнительная задача:

На первый счет положили 100000 руб. под 30% в год (простые), на второй счет – 300000 руб. под 10% в год (простые). На каком из счетов через 50 лет будет сумма больше?

Решение:

Первый счет:

a₁ = 100000 a₅₁ = a₁ + 50d, d = a₁^.p/100 = 100000^.30/100= 30000

p = 30% a₅₁ = 100000 + 50^.30000 = 1600000

n=50

a₅₁ - ?

Второй счет:

a₁ = 300000 a₅₁ = a₁ + 50d, d = a₁^.p/100 = 300000^.10/100= 30000

p = 10% a₅₁ = 300000 + 50^.30000 = 1800000

n=50

a₅₁ - ?

Ответ: на втором счету больше.

5. Итог урока:

Сегодня на уроке мы научились решать экономические задачи с помощью арифметической и геометрической прогрессий, а так же переводить экономические задачи на математический язык.

В конце урока учитель выставляет оценки учащимся, наиболее активно работавшим на уроке.

Литература:

1. Г. В. Дорофеев, Е. А. Седова. Процентные вычисления. – СПб: «Специальная литература», 1997.

2. Л. П. Евстафьева. Математика: дидактические материалы для 9 класса общеобразовательных учреждений. – М.6 Просвещение, 2006.