Презентация "Сечения тетраэдра" по математике – проект, доклад

Сечения тетраэдра

Геометрия. 10 класс. Г. Екатеринбург . МАОУ-гимназия №13. Учитель Анкина Т.С. 2013г

Информация для учителя.

Цель создания этой презентации состоит в том, чтобы наглядно продемонстрировать алгоритмы построения точки пересечения прямой и плоскости, прямой пересечения плоскостей и сечений тетраэдра. Учитель может использовать презентацию при проведении уроков по этой теме, или рекомендовать её для самостоятельного изучения учащимся, пропустившим по какой-то причине её изучение, или для повторения ими отдельных вопросов. Ученики сопровождают изучение презентации заполнением краткого конспекта.

Информация для ученика.

Цель создания этой презентации состоит в том, чтобы наглядно продемонстрировать алгоритмы решения задач на построение в пространстве. Постарайтесь внимательно и, не спеша, изучать комментарии на выносках и сопоставлять их с рисунком. Заполняйте в кратком конспекте все пропуски. При самостоятельном решении задач необходимо вначале самому продумать решение, а затем просмотреть предложенное автором. Запишите вопросы к учителю и задайте их на уроке.

I.Прямая а пересекает плоскость α. Построить точку пересечения.

α β P m а Ответ:

I.Чтобы построить точку пересечения прямой а и плоскости α нужно: 1)провести(найти)плоскость β, проходящую через прямую а и пересекающую плоскость α по прямой т 2) построить точку Р пересечения прямых а и m.

Через прямую а проведём плоскость β, пересекающую плоскость α по прямой т

Пересечём прямую а с линией пересечения плоскостей α и β: прямой т.

Точка Р общая точка прямой а и плоскости α, т.к. прямая т лежит в плоскости α.

Запишите алгоритм в краткий конспект.

1)Построить точку пересечения прямой МN и плоскости BDC.

D B A C M N {М, N} (АВС)

Через прямую МN проходит плоскость АВС, пересекающая плоскость BDC по прямой ВС.

Прямая МN пересекается с прямой ВС в точке Р.

Прямая ВС лежит в плоскости BDC, значит прямая МN пересекает плоскость BDC в точке Р.

2)Построить точку пересечения прямой МN и плоскости АBD.

Просмотреть решение

Прямая MN принадлежит плоскости ВDC, которая пересекает плоскость AВD по прямой DB

Пересечём прямые MN и DB.

Далее

Построим точку пересечения прямой АВ с плоскостью α.

По условию и построению точки С и Р общие для плоскостей АВС и α.

Значит прямая СР искомая прямая пересечения плоскостей АВС и α.

II. Пусть прямая АВ не параллельна плоскости α . Построить линию пересечения плоскостей α и АВС, если точка С принадлежит плоскости α

II.Чтобы построить линию пересечения плоскости α и плоскости АВС (С α, {А, В} α, АВ || α), нужно: построить точку пересечения прямой АВ и плоскости α - точку Р ; 2) точка Р и С общие точки плоскостей (АВС) и α, значит (АВС) α = СР

Построить отрезок пересечения плоскости МNP и грани АDB.

3).Построить прямую пересечения плоскостей МNP и АDB.

X Q R

Построим точку пересечения прямой МР с плоскостью ADB (точку Х).

Прямая МР лежит в плоскости ADС, пересекающей плоскость ADВ по прямой AD.

Точки Х и N общие точки плоскостей ADВ и MNP. Значит они пересекаются по прямой ХN.

Запишите ход построения в краткий конспект.

Сечение тетраэдра.

Многоугольник, составленный из отрезков, по которым секущая плоскость пересекает грани многогранника, называется сечением многогранника. Отрезки, из которых состоит сечение, называются следами секущей плоскости на гранях.

∆ MNP – сечение.

Пусть плоскость пересекает тетраэдр, тогда она называется секущей плоскостью

Плоскость пересекает рёбра тетраэдра в точках М,N,P, а грани - по отрезкам MN, MP, NP…

Треугольник МNP называется сечением тетраэдра этой плоскостью…

Запишите в краткий конспект.

Сечение тетраэдра может быть так же четырёхугольником.

MNPQ – сечение.

MNPQ – искомое сечение.

Алгоритм построения сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через три данные точки M,N,P.

Построить следы секущей плоскости в тех гранях, в которых есть 2 общие точки с ней.

3)Через построенные точки провести прямую, по которой секущая плоскость пересекает плоскость выбранной грани АВС.

4) Отметить и обозначить точки, в которых эта прямая пересекает рёбра грани АВС и достроить остальные следы.

2) Выбрать грань, в которой ещё нет следа. Построить точки пересечения прямых, содержащих уже построенные следы, с плоскостью выбранной грани: АВС.

Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP. 2 способ.

№1. (Решите самостоятельно задачу). Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP.

Второй способ:

№2. (Решите самостоятельно). Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP, если Р принадлежит грани АDC.

3)α (ADB)= MN, α (ABC)=QP.

№3. Построить сечение тетраэдра плоскостью α, параллельной ребру CD и проходящей через т. F, лежащую на плоскости DBC, и точку М.

F

Дано: α||DC, {M;F} α, F (BDC), M AD.

Построить сечение тетраэдра DABC

Т.к. α||DC, то (DBC) α=FP и FP||DC, FP BC=P, FP BD=N.

2) Т. к. α||DC, то (DAC) α=MQ и MQ||DC, MQ AC=Q.

DC || NP и NP α, значит DC||α, следовательно MNPQ – искомое сечение.

Продолжите фразу: Если данная прямая а параллельна некоторой плоскости α, то любая плоскость, проходящая через эту прямую а и непараллельная плоскости α, пересекает плоскость α по прямой b,………………………………………

параллельной прямой а.

Продолжите…

α||DC, значит плоскость BDC пересекает α по прямой, параллельной DC и проходящей через точку F

α||DC, значит плоскость ADC пересекает α по прямой, параллельной DC и проходящей через точку M

2) α||DВC, (ADC) (DBC)=CD, (ADC) α=MN MP||CD.

№4. Построить сечение тетраэдра плоскостью α, параллельной грани BDC и проходящей через точку М.

Дано: α||DBC, M α, M AD.

Построить сечение тетраэдра DABC плоскостью α

α||DВC, (ADB) (DBC)=BD, MN||BD. (ADB) α=MN

3) α (ABC)=NP.

∆ MNP – искомое сечение, т.к……….

Продолжите фразу: Если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии их пересечения………………………

параллельны.

две пересекающиеся прямые MN и MP плоскости α соответственно параллельны двум пересекающимся прямым DB и DC плоскости (DBC), значит α||(DBC).

α||DВC, значит плоскости ADВ и ADC пересекают плоскости α и (ВDС) по прямым MN и МР, параллельным DB и DС соответственно и проходящим через точку M.

М

№5.Решите самостоятельно и запишите ход решения. Построить сечение тетраэдра плоскостью α, проходящей через точку М и отрезок PN, если PN||AB и М принадлежит плоскости (АВС).

Р

1) NP||АВ NP||(ABC) NP α, α (ABC) =MQ MQ||NP.

2)MQ AC=R. α (ADC)=NR, α (BDC)=PQ. RNPQ-искомое сечение.

NP||(AВC), значит плоскость MNP пересекает плоскость AВС по прямой MQ, параллельной NP и проходящей через точку M.

Не забудьте сформулировать вопросы учителю, если было что-то не понятно, а также свои рекомендации по совершенствованию этой презентации.

При создании презентации были использованы учебники и пособия: 1. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. Геометрия 10-11. М. «Просвещение» 2008. 2.Б.Г. Зив, В.М. Мейлер, А.Г. Баханский Задачи по геометрии 7-11.М. «Просвещение» 2000