Презентация "Различные подходы к доказательству теоремы Пифагора" по математике – проект, доклад

Различные подходы к доказательству теоремы Пифагора

Автор проекта: Мигачева Ольга, ученица 9А класса Лаишевской СОШ № 3 Лаишевского района Республики Татарстан Руководитель: Мигачева Галина Анатольевна

На протяжении веков были даны многочисленные разные доказательства теоремы Пифагора...

Чертеж к теореме Пифагора в средневековой арабской рукописи

Теорема Пифагора в древнейшем китайском трактате «Чжоу-би»

Теорема Пифагора упоминается в первой части самого древнего дошедшего до нас китайского математико-астрономического сочинения «Чжоу-би», написанного около 1100 лет до н.э.

Прокл в своем комментарии к «Началам» Евклида пишет относительно предложения о том, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, следующее: «Если слушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придется сказать, что эта теорема восходит к Пифагору. Рассказывают, что в честь этого открытия он принес в жертву быка». О том же рассказывает и другой греческий историк древности – Плутарх (I в.). На основе этих и других преданий долгое время считали, что до Пифагора эта теорема не была известна и назвали ее поэтому «теоремой Пифагора»… Однако теперь известно, что эта важнейшая теорема встречается в вавилонских текстах, написанных за 1200 лет до Пифагора.

Если на гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника построить соответствующие квадраты, то квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах.

Геометрическое доказательство Евклида

Доказательство: DBC = FBA = 900 DBC + ABC = FBA + ABC Значит, DBA = FBC

Но AB=FB, BC=BD. ∆ABD=ΔFBC (по двум сторонам и углу, заключенному между ними).

В треугольнике ABD высота, проведенная из вершины А на сторону BD, равна длине отрезка BJ. SABD=½ BJ ∙ BD, SBJLD=BJ ∙ BD. Значит, SABD=½ SBJLD

В треугольнике FBC высота, проведенная из вершины C на сторону BF, равна длине отрезка AB. SFBC=½ AB ∙ BF, SABFH=AB ∙ BF. Значит, SFBC=½SABFH

Итак, квадрат ABFH равновелик прямоугольнику BJLD. (SBJLD=SABFH)

BCE = ACK = 900 BCE + ACB = ACK + ACB Значит, ACE = BCK. Но AC=KC, BC=CE

∆ACE=ΔKCB (по двум сторонам и углу, заключенному между ними).

В треугольнике ACE высота, проведенная из вершины А на сторону CE, равна длине отрезка JC. SACE=½ CJ ∙ CE, SJCEL=CJ ∙ CE. Значит, SACE=½ SJCEL

В треугольнике BKC высота, проведенная из вершины B на сторону CK, равна длине отрезка AC. SBCK=½ AC ∙ CK, SACKG=AC ∙ CK. Значит, SBCK=½ SACKG

Итак, квадрат ACKG равновелик прямоугольнику JCEL. (SACKG=SJCEL)

Но SBJLD + SJCEL = SBCED, Тогда SABFH + SACKG = SBCED.

Сумма площадей квадратов ABFH и ACKG, построенных на катетах, равна площади квадрата BCED , построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника ABC.

Доказательство Анариция, основанное на том, что равносоставленные фигуры равновелики

Чертеж к доказательству Анариция

Доказательство основывается на том, что равносоставленные фигуры равновелики: квадраты, построенные на катетах и гипотенузе, разбиваются на многоугольники так, что каждому многоугольнику из состава квадрата на гипотенузе соответствует равный многоугольник одного из квадратов на катетах. Достаточно посмотреть на чертеж, чтобы понять все доказательство (см. рис.). Это доказательство дал багдадский математик и астроном X в. ан-Найризий (латинизированное имя – Анариций).

Доказательство, основанное на теории подобия

Леонардо Фибоначчи и Валлис (XVII в.) "Практическая геометрия"

Лежандр (VIII в.)

А.Ю. Давидов "Элементарная геометрия"

Из подобия треугольников ACD и CAB следует:

Из подобия треугольников ABC и DCB следует:

Сложив почленно равенства, получим:

Алгебраический метод Бхаскары

Бхаскара(1114 -1185) индийский математик и астроном

А С D H В G F E

Пусть ABCD – квадрат, сторона которого равна гипотенузе прямоугольного треугольника ABF (AB=c, BF=a, AF=b)

Пусть DE перпендикулярна к AF, CH – к DE, BG – к CH. Тогда равны треугольники AFB, BGC, CHD, DEA. EF=FG=GH=HE=b-a.

Пребудет вечной истина, как скоро Ее познает слабый человек! И ныне теорема Пифагора Верна, как и в его далекий век.

Обильно было жертвоприношенье Богам от Пифагора. Сто быков Он отдал на закланье и сожженье За света луч, пришедший с облаков.

Поэтому всегда с тех самых пор, Чуть истина рождается на свет, Быки ревут, ее почуя, вслед.

Они не в силах свету помешать, А могут лишь, закрыв глаза, дрожать От страха, что вселил в них Пифагор.

А. Шамиссо