Презентация "Алгебра логики" – проект, доклад

Тема урока: Алгебра логики

Этапы развития логики

Логика очень древняя наука. 1-й этап связан с работами ученого и философа Аристотеля (384-322 г.г. до н.э.). Аристотель впервые дал систематическое изложение логики. Он подверг анализу человеческое мышление, его формы – понятие, суждение, умозаключение. Так возникла формальная логика.

2-й этап – появление математической, или символической, логики. Основы ее заложил немецкий ученый и философ Г.В. Лейбниц (1646-1716). Он сделал попытку построить первые логические исчисления, считал, что можно заменить простые рассуждения действиями со знаками, и привел соответствующие правила. Но он выдвинул только идею, а развил её окончательно англичанин Д. Буль (1815-1864).

Формы мышления

Логика – эта наука, изучающая законы и формы мышления; учение о способах рассуждений и доказательств. Основными формами мышления являются понятие, суждение, умозаключение. Понятие – это форма мышления, выделяющая существенные признаки предмета или класса предметов, позволяющих отличить их от других. Например: компьютер, трапеция, портфель, ураганный ветер.

Понятие

Понятие имеет две стороны: содержание и объем. Содержание понятия – совокупность существенных признаков, отраженных в этом понятии. Например, содержание понятия персональный компьютер-это универсальное электронное устройство для автоматической обработки информации, предназначенное для одного пользователя.

Объем понятия – множество предметов, каждому из которых принадлежат признаки, составляющие содержание понятий. Например: 1. Объем понятия город – это множество, состоящее из городов, носящих имя Москва, Одесса, Казань, Уфа, Нижнекамск и др. 2. Объем понятия персональный компьютер – совокупность существующих в мире персональных компьютеров.

Упражнения

Упражнение 1. Приведите свои примеры понятий. Упражнение 2 1. Перечислите существенные признаки, составляющие содержание понятий: добродетель, истина, ложь. 2. Определите объем понятий: столица России, столица, река.

Суждения

Суждение (высказывание, утверждение) – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о свойствах реальных предметов и отношениях между ними. Высказывание может быть либо истинным, либо ложным, и может быть либо простым, либо составным (сложным). Например: 1. Истинное высказывание: Буква “т” - согласная. 2. Ложное высказывание: Осень наступила, и грачи прилетели.

Суждение

Вопросительные и восклицательные предложения не являются высказываниями, так как в них ни чего не утверждается и не отрицается. Например: 1. Уходя, гасите свет! 2. Кто хочет быть счастливым? Высказывания могут выражаться с помощью математических, физических, химических и прочих знаков. Например: 5>3, H2O+SO2=H2SO4.

Упражнение 3. Объясните, почему следующие предложения не являются высказываниями: 1. Какого цвета твой велосипед? 2. Число Х больше пяти? 3. 5Х-2 4. Посмотрите в окно. 5. Пейте томатный сок! 6. Вы были в музее? 7. Разность чисел 12 и Х равна 6.

Упражнение 4. Какие из следующих высказываний являются истинными, а какие ложными? 1. Город Москва – столица России. 2. Число 12 – простое. 3. 7*3=1. 4. 12<15. 5. Сканер – устройство, которое может напечатать на бумаге то, что изображено на экране компьютера. 6. Клавиатура – устройство ввода информации. Упражнение 5. Приведите свои примеры истинных и ложных высказываний.

Умозаключение

Умозаключение – это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений может быть получено новое суждение. Посылками умозаключения по правилам формальной логики могут быть только истинные суждения. Тогда, если умозаключение проводится в соответствии с правилами формальной логики, то оно будет истинным. В противном случае можно прийти к ложному умозаключению.

Например: 1. Все металлы – простые вещества. Литий – металл. Литий – простое вещество. 2. Некоторые школьники – отличники. Вовочка – школьник. Вовочка – отличник.

Упражнение

Упражнение 6. 1. Дано высказывание “Все углы равнобедренного треугольника равны”. Путем умозаключений получить высказывание “Этот треугольник равносторонний”. 2. Оцените правильность следующего рассуждения: сидящий встал; кто встал, тот стоит; значит, сидящий стоит.

Алгебра высказываний

Алгебра высказываний была разработана для того, чтобы можно было определять истинность или ложность составного высказывания, не вникая в их содержание. Алгебра логики (алгебра высказываний) – раздел математической логики, изучающий строение (форму, структуру) сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов. Под высказыванием (суждением) будем понимать повествовательное предложение, относительно которого можно сказать, истинно или ложно.

В алгебре высказываний простым высказываниям ставятся в соответствии логические переменные, обозначаемые прописными буквами латинского алфавита. Например: А= “Листва на деревьях опадает осенью”. В= “Земля прямоугольная”.

Высказывания, как говорилось уже ранее, могут быть истинными или ложными. Истинному высказыванию соответствует значение логической переменной 1, а ложному – значение 0 . Например: А=1 В=0 В алгебре высказываний высказывания обозначаются именами логических переменных, которые могут принимать лишь два значения: “истина” (1) и “ложь” (0). В алгебре высказываний над высказываниями можно производить логические операции, в результате которых получаются новые, составные (сложные) высказывания.

Логические операции

Логическая операция – способ построения сложного высказывания из данных высказываний, при котором значение истинности сложного высказывания полностью определяется значениями истинности исходных высказываний. Рассмотрим три базовых логических операций – инверсию, конъюнкцию, дизъюнкцию и дополнительные – импликацию и эквивалентность.

Инверсия (от лат. inversion – переворачиваю) - отрицание. Инверсия логической переменной истина, если переменная ложна, и, наоборот, инверсия ложна, если переменная истинна. Обозначается ¬А, читается не А.

Конъюнкция (от лат. conjunction – связываю) - логическое умножение. Конъюнкция двух логических переменных истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания, истинны. Обозначается А В, читается А и В.

Конъюнкция

Дизъюнкция (от лат. disjunction – различаю) - логическое сложение. Дизъюнкция двух логических переменных ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны. Обозначается А В, читается А или В.

Дизъюнкция

Импликация (от лат. implication – тесно связывать) - логическое следование. Импликация двух логических переменных ложна тогда и только тогда, когда из истинного основания следует ложное следствие. Обозначается А В, где А–условие В - следствие. Читается Если А, то В; Когда А, тогда В.

Импликация

Эквивалентность (от лат. equivalents – равноценность) - логическое равенство. Эквивалентность двух логических переменных истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны. Обозначается А В, читается А тогда и только тогда, когда В.

Эквивалентность

Среди следующих высказываний укажите составные, выделите в них простые. Число 456 трехзначное и четное. Неверно, что Солнце движется вокруг Земли. Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Луна – спутник Земли. На уроке химии ученики выполняли лабораторную работу, и результаты исследований записывали в тетрадь. Если число оканчивается на 0, то оно делится на 10. Чтобы погода была солнечной, достаточно, чтобы не было ни ветра, ни дождя. Если человек с детства и юности своей не давал нервам властвовать над собой, то они не привыкнут раздражаться и будут ему послушны.

Постройте отрицания следующих высказываний. На улице сухо. Сегодня выходной день. Ваня не был готов сегодня к урокам. Неверно, что число 3 не является делителем числа 198. Некоторые млекопитающие не живут на суше. Неверно, что число 17 – простое.