Презентация "Определение параллельности прямых" по математике – проект, доклад

Параллельные прямые в пространстве

ПЛОСКОСТЬ Прямые, не имеющие общих точек, называются параллельными. АПП: Через любую точку плоскости, не лежащую на данной прямой проходит прямая, параллельная данной и притом только одна.

ПРОСТРАНСТВО Прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек, называются параллельными. Теорема (о существовании и единственности прямой, параллельной данной): Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой проходит прямая, параллельная данной и притом только одна.

Как доказывается истинность утверждения? Как доказывается то, что утверждение ложно?

ПЛОСКОСТЬ Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

ПРОСТРАНСТВО Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

α а b c О с

ЛЕММА: Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая пересекает эту плоскость. (Лемма – это утверждение, предшествующее теореме и использующееся при доказательстве этой теоремы)

a м М N р β

№ 19. Стороны параллелограмма АВ и ВС пересекают плоскость α. Докажите, что прямые AD и DC тоже пересекают плоскость α.

А B C D M

Теорема: Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. (признак параллельности прямых)

Дано: a║c, b║c. Доказать: a║b, т.е.: 1) a и b лежат в одной плоскости 2) a и b не пересекаются. Доказательство: 1)

Доказательство: 2) от обратного Пусть: a и b пересекаются, тогда…….

K

Дан параллелепипед, грани которого являются параллелограммами. Доказать: 1) AB║D1C1; 2) DD1║BB1; 3)AD ║ (A1B1C1); 4) Каким плоскостям параллельна прямая D1C1; 5) АА1 и DC скрещивающиеся прямые; 6) В1С1 и DD1 скрещивающиеся прямые.

A A1 B1 C1 D1

Взаимное расположение прямой и плоскости

1 случай: а ∩ α 3 случай: а ║ α

2 случай: а содержится в α или плоскость α проходит через прямую а

В

Признак параллельности прямой и плоскости Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в плоскости, то она параллельна и самой плоскости

Дано: а не содержится в α, b содержится в α, а ║ b. Доказать: а ║ α

Доказательство Метод «от обратного» Пусть а не параллельна α. Тогда… а содержится в α. или а пересекает α. По лемме, так как а ║ b, то b тоже пересекает α. Это противоречит условию теоремы. Значит, наше предположение неверно. Следовательно а ║ α

№ 23 Точка М не лежит в плоскости прямоугольника АВСD. Докажите, что CD ║ (ABM)

С

Свойство 1. Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости и пересекает ее, то линия пересечения параллельна данной прямой

Задача. Плоскость α пресекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках M и N соответственно. Известно, что АС║α, АВ:АМ=8:3. 1) Докажите, что ВN:ВС=5:8; 2) Найдите ВN.

Свойство 2

Лемма: Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая пересекает эту плоскость.

Свойство 2. Если одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости, то другая прямая… либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Взаимное расположение прямых в пространстве назвать несколько пар параллельных прямых несколько пар пересекающихся прямых несколько пар прямых, не лежащих в одной плоскости

А1

СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ

Определение Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости

Признак Если одна прямая лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые являются скрещивающимися

Любая прямая с, лежащая в плоскости β, делит эту плоскость на две полуплоскости с границей с.

Углы с сонаправленными сторонами Определение: Два луча, не лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они параллельны и лежат в одной полуплоскости с границей, проходящей через их начала.

Сонаправлены ли лучи: 1 и 2; 1 и 3; 2 и 5; 2 и 4; 5 и 4?

1 2 3 4 5

Теорема: Если стороны двух углов являются сонаправленными лучами, то такие углы равны Доказательство:

рассмотрим четырехугольники 1) ОАА1О1,, 2) ОВВ1О1, 3) ВАА1В1, 4) треугольники ОАВ и О1А1В1

О1 В1

Задача № 46 m

Задача: Прямая р, не лежащая в плоскости треугольника АВС, параллельна стороне АВ. Найти угол между прямыми р и ВС, если угол АВС равен 132о.

Параллельность плоскостей Опр. Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек. Признак: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Метод от обратного: Пусть α и β не параллельны. Тогда они пересекаются по прямой с.

а1 b1 O

Свойство 1: Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

γ

Свойство 2: Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.