Презентация "Сумма углов n-угольника" по математике – проект, доклад

Сумма углов n-угольника

Теорема. Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180o(n-2).

Доказательство. Из какой-нибудь вершины выпуклого n-угольника проведем все его диагонали. Тогда n-угольник разобьется на n-2 треугольника. В каждом треугольнике сумма углов равна 180о, и эти углы составляют углы n-угольника. Следовательно, сумма углов n-угольника равна 180о(n-2).

Второй способ доказательства

Доказательство 2. Пусть O какая-нибудь внутренняя точка выпуклого n-угольника A1…An. Соединим ее с вершинами этого многоугольника. Тогда n-угольник разобьется на n треугольников. В каждом треугольнике сумма углов равна 180о. Эти углы составляют углы n-угольника и еще 360о. Следовательно, сумма углов n-угольника равна 180о(n-2).

Упражнение 1

Чему равна сумма углов выпуклого: а) 4-угольника; б) 5-угольника; в) 6-угольника?

Ответ: а) 360о; б) 540о; в) 720о.

Упражнение 2

Чему равен внешний угол правильного: а) 3-угольника; б) 4-угольника; в) 5-угольника; г) 6-угольника?

Ответ: а) 120о; б) 90о; в) 72о; г) 60о.

Упражнение 3

Докажите, что сумма внешних углов выпуклого n-угольника равна 360о.

Доказательство. Внешний угол выпуклого многоугольника равен 180о минус соответствующий внутренний угол. Следовательно, сумма внешних углов выпуклого n-угольника равна 180оn минус сумма внутренних углов. Так как сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180о(n-2), то сумма внешних углов будет равна 180оn - 180о(n-2) = 360о.

Упражнение 4

Чему равны углы правильного: а) треугольника; б) четырехугольника; в) пятиугольника; г) шестиугольника; д) восьмиугольника; е) десятиугольника; ж) двенадцатиугольника?

Ответ: а) 60о; в) 108о; г) 120о; д) 135о; е) 144о; ж) 150о.

Упражнение 5

Сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 300о. Найдите четвертый угол.

Ответ: 60о.

Упражнение 6

Углы выпуклого четырехугольника пропорциональны числам 1, 2, 3, 4. Найдите их.

Ответ: 36о, 72о, 108o, 144o.

Упражнение 7

В выпуклом четырехугольнике ABCD AB=BC, AD=CD, B = 60о , D = 110о. Найдите угол A.

Ответ: 95о.

Упражнение 8

Сумма углов выпуклого многоугольника равна 900o. Сколько у него сторон?

Ответ: 7.

Упражнение 9

Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый из его внешних углов равен: а) 36o; б) 24o?

Ответ: а) 10; б) 15.

Упражнение 10

Чему равна сумма углов невыпуклого четырехугольника ABCD?

Ответ: 360о.

Упражнение 11*

Найдите сумму углов 1, 2, 3, 4, 5 пятиугольной звездочки, изображенной на рисунке.

Ответ: 180о.

Упражнение 12*

Какое наибольшее число острых углов может иметь выпуклый n-угольник?

Решение. Так как сумма внешних углов выпуклого многоугольника равны 360о, то у выпуклого многоугольника не может быть более трех тупых углов, следовательно, у него не может быть более трех внутренних острых углов. Ответ. 3.