Презентация "Многогранники" (10 класс) по математике – проект, доклад

Многогранники. Усечённая пирамида, её элементы. Площадь и объём.

Многогранник - часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников соединенных таким образом, что каждая сторона любого многоугольника является стороной ровно одного другого многоугольника (называемого смежным), причем вокруг каждой вершины существует ровно один цикл многоугольников.

Основные понятия

Некоторые пространственные фигуры, изучаемые в стереометрии, называют телами или геометрическими телами. Наглядно тело надо представлять себе как часть пространства, занятую физическим телом и ограниченную поверхностью. Многогранником называется геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.

Правильные многогранники

Тетраэдр Куб Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр

Выпуклым называется многогранник, если он расположен по одну сторону плоскости, проведённой через любой многоугольник, образующий поверхность данного многогранника. Многоугольники, составляющие поверхность многогранника, называются его гранями; стороны многоугольников – рёбрами; вершины – вершинами многогранника: ABC, DEF, ABED, BCFE, ACFD – грани; AB, BC, AC, DE, EF, DF, AD, BE, CF – рёбра; A, B, C, D, E, F – вершины многогранника ABCDEF. Теорема Эйлера для многогранников: Если V — число вершин выпуклого многогранника, R — число его ребер и G — число граней, то верно равенство: V – R + G = 2.

Пирамидой (например, SABCDE) называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника (пятиугольник ABCDE) – основания пирамиды, точки (S), не лежащей в плоскости основания,– вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.

Плоскость, которая пересекает пирамиду и параллельна её основанию, делит её на две части: пирамиду, подобную данной (SA1В1С1) и многогранник, называемый усеченной пирамидой (AВСA1В1С1). Грани усеченной пирамиды, лежащие в параллельных плоскостях (ΔАВС и ΔA1В1С1), называются основаниями, остальные грани (АA1В1В, АA1С1С, ВВ1С1С) называются боковыми гранями. Основания усеченной пирамиды представляют собой подобные многоугольники, боковые грани – трапеции. Высота усеченной пирамиды (ОО1) – это расстояние между плоскостями её оснований.

Свойства усечённой пирамиды

1. Каждая боковая грань правильной усеченной пирамиды является равнобокими трапециями одной величины. 2. Основания усеченной пирамиды являются подобными многоугольниками. 3. Боковые ребра правильной усеченной пирамиды имеют равную величину и один наклонен по отношению к основанию пирамиды. 4. Боковые грани усеченной пирамиды являются трапециями. 5. Двугранные углы при боковых ребрах правильной усеченной пирамиды имеют равную величину. 6. Отношение площадей оснований: S2/S1 = k2.

Площадь боковой поверхности равна сумме площадей боковых граней усечённой пирамиды.

Объём усечённой пирамиды

Если S1 и S2 – площади оснований усечённой пирамиды и h – её высота, то для объёма усеченной пирамиды верно:

?= 1 3 ℎ( ? 1 + ? 1 ? 2 + ? 2 )

где — площади оснований, — высота усечённой пирамиды.

Основания усеченной пирамиды А1А2А3А4А5, В1В2В3В4В5

Боковые грани усеченной пирамиды А1В1В2А2, А2В2В3А3, А3В3В4А4 и тд.

Ребра усеченной пирамиды А1А2, А2А3, А3А4, А4А5, А5А1, А1В1, А2В2, А3В3, А4В4,А5В5 и тд.

CH является высотой усеченной пирамиды, P1 и P2 — периметрами оснований, S1 и S2 — площадями оснований, Sбок — площадью боковой поверхности, Sполн — площадью полной поверхности:

Пирамида (например, SABCD) называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник (ABCD – квадрат), а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника (О – центр описанной и вписанной окружностей основания). Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая ее высоту. Боковые ребра правильной пирамиды равны. Боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды (SL), проведенная из ее вершины к стороне основания, называется апофемой. Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему: Sб = ½Pосн·SL.

Усеченная пирамида (например, АВСDA1В1С1D1), которая получается из правильной пирамиды, также называется правильной. Боковые грани правильной усеченной пирамиды (АA1В1В, АA1С1С, DD1С1С, АA1D1D) – равные равнобокие трапеции; их высоты называются апофемами.

Свойства правильных пирамид: Боковые ребра правильной пирамиды - равны. Боковые грани правильной пирамиды - равные друг другу равнобедренные треугольники.

Правильная усеченная пирамида — многогранник, который образован правильной пирамидой и ее сечением, которое параллельно основанию.

где Sb – боковая поверхность, l-апофема

Правильная усеченная пирамида также как и обычная правильная пирамида имеет особенности

В правильной усеченной n-угольной пирамиде все боковые ребра равны между собой. Все боковые грани правильной усеченной n-угольной пирамиды суть равные равнобедренные трапеции (углы при основаниях равнобедренной трапеции равны), поэтому: в правильной усеченной n-угольной пирамиде все плоские углы при основаниях равны. в правильной усеченной n-угольной пирамиде все двугранные углы при основаниях равны. в правильной усеченной n-угольной пирамиде все двугранные углы при боковых ребрах равны.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна ½ произведения суммы периметров ее оснований и апофемы. где S1, S2 — площади оснований, φ — двугранный угол у основания пирамиды.

Задачи

Стороны оснований правильной треугольной усечённой пирамиды равны 4 дм и 2 дм, а боковое ребро равно 2 дм. Найдите высоту и апофему пирамиды. * Основаниями усечённой пирамиды являются правильные треугольники со сторонами 5 см и 3 см. Одно из боковых рёбер перпендикулярно к плоскости основания и равно 1 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

В треугольной усеченной пирамиде через сторону верхнего основания проведена плоскость параллельно противоположному боковому ребру. В каком отношении разделился объем усеченной пирамиды, если соответственные стороны оснований относятся как 1 : 2?

Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 2 и 1, а высота равна 3. Через точку пересечения диагоналей пирамиды параллельно основаниям пирамиды проведена плоскость, делящая пирамиду на две части. Найти объем каждой из них.

Усечённая пирамида встречается и в жизни

Многогранники в архитектуре

Робокубоэктаэдр

Международный экономический комитет

Ботанический сад «Эдем»

Современный вход в Лувр

Дворец счастья в Ашхабаде

Бизнес-центр в Москве

Парк развлечений в Париже

Спасибо за внимание