Конспект урока «Решение комбинаторных и статистических задач» по математике

Полякова Светлана Владимировна

Учитель математики

МБОУСОШ №1 г. Новочеркасска

Тема: Решение комбинаторных и статистических задач

Цели:

- закрепление знаний и умений по решению комбинаторных задач;

- развитие познавательной и творческой деятельности учащихся;

- формирование их интеллектуальной и эмоциональной активности;

- воспитание культуры коллективного умственного труда.

Форма занятия: соревнование

Описание хода занятия

1. Ребята, мы с вами говорили о том, насколько важно научиться работать с количественной информацией, которая может в современном обществе быть представлена в различной форме. Сегодняшнее наше занятие направлено на проверку ваших умений решать задачи, которые помогут вам в будущем правильно воспринимать статистические закономерности. А для этого мы отправляемся в путешествие на 4-х парусниках. Чья команда окажется у финиша первой зависит только от вашей настойчивости, сплоченности и умения показать свои знания. Первое, что нам предстоит сделать – это заполнить так называемые путевые листы. Именно они вам помогут в путешествии. Мои помощницы в каждой команде выдадут пока еще пустые карточки, в которые вы должны записать известные вам комбинаторные формулы. Готовность к ответу – это поднятый на паруснике флаг (одна минута выделяется на запись формул, после истечения отведенного времени проверяются карточки по вывешенному на магнитную доску образцу).

А сейчас я предлагаю вам определить, сколько различных маршрутов можно проложить для путешествия по пяти островам. Ответ обосновать. (Задача сводится к подсчету числа перестановок из пяти элементов, так как здесь речь идет о комбинациях элементов, отличающихся порядком и все элементы участвуют в соединении).

Итак, можно отправляться в путешествие (звучит музыка Вивальди «Времена года»)! Выбираем маршрут номер три.

2. Первый остров «исторический» (музыку приглушить, на фоне звучания мелодии рассказ двух учеников об истории комбинаторики)

Первый ученик: Здравствуйте ребята, вы на острове истории, где мы будем искать истоки комбинаторики. Перенесемся в пифагорейскую школу (на доске отрывной календарь, где на 1 листе запись VI-IV вв. до н.э. ), именно здесь появились треугольные числа, которые впоследствии стали рассматривать как сочетания по два элемента. Вот пример треугольного числа (из теннисных шариков изготовлена модель):

Если одинаковые шары выложить на плоскость в виде треугольника, в верхнем ряду которого один шар, затем два, три и т.д., то общее число шаров в первых рядах выразится треугольными числами 1, 3, 6, 10, 15 и т.д.

Второй ученик: Теперь я приглашаю вас в средние века (на календаре 17 век). Сиятельные графы, морские пираты, византийские купцы, золотоискатели Невады, все были заражены азартом игры в кости. Игра была столь популярна, что стали появляться таблицы, в которых перечислялись возможности получения разного числа очков на двух и трех костях. Математики стали анализировать комбинации, получающиеся при бросании костей. Наиболее полно это сделали Галилей, паскаль и Ферма. Систематическое изложение формул и законов комбинаторики было впервые опубликовано Лейбницем в 1666 году. Великий Эйлер рассмотрел ряд комбинаторных задач, из которых в последствии развились самостоятельные отрасли науки.

Уже много сотен лет люди пользуются различными формами тайнописи – криптографии. Чтобы текст не могли прочитать непосвященные, слова иногда записывали в обратном порядке, иной раз пользовались заменой одних букв алфавита другими, чтобы прочитать такую запись, нужно было знать «ключ» - способ замены букв. Развитие комбинаторных методов позволило расшифровать такие записи.

Первый ученик: Победа Кромвеля в гражданской войне (Англия, середина 17 века) была в значительной мере облегчена раскрытием намерений монархистов. Заговорщики думали, что их планы выданы тайным агентам Кромвеля. А после реставрации Стюартов стало известно, что один из лучших английских математиков того времени сумел очень быстро разгадать несложные шифры заговорщиков.

Несколько сотен лет назад ученый, сделавший какое-либо открытие, публиковал об этом сообщение или даже книгу. Если же открытие было еще недостаточно проверено, то публикация могла оказаться преждевременной, а задержка публикации грозила потерей приоритета. Поэтому многие ученые публиковали краткое сообщение в форме анаграммы.

Анаграмма – слово или фраза, составленная из тех же букв, но в другом порядаке.

Я предлагаю вам в качестве разминки определить, сколько анаграмм существует к слову «Нева».

На этом мы прощаемся с вами, счастливого пути!

3. Второй остров «литературный».

Третий ученик: Использование комбинаторики столь широко, что мы можем встретиться с задачами этого вида даже в художественной литературе. Именно поэтому мы здесь!

И.А. Крылов, басня «Квартет».

Я надеюсь, что в прочитанном отрывке вы смогли услышать симпатичную комбинаторную задачу. Будьте добры за одну минуты сформулировать ее и решить.

Н.В. Гоголь, повесть «Мертвые души» (следующая задача не только комбинаторная, но и статистическая, метод, который вы будете рассматривать, применяется в статистике).

Чичиков в гостях у Петуха. «На столе были выставлены три холодные закуски; студень с хреном, икра стерляжья и свежепосоленная белуга; два первых блюда: уха из стерлядей и щи с грибами; и два вторых блюда: осетрина жаренная, теленок жаренный на вертеле; два вида третьих блюд: арбузы и груши.»

Сколько разных обедов мог насчитать Чичиков из этих блюд, если на каждый обед можно выбрать одну закуску, одно первое блюдо, одно второе, и одно третье. Решите эту задачу с помощью схемы-дерева.

8*3=24 (обеда)

Ст. Икра Б.

У. Щ. У. Щ. У. Щ.

О. Т. О. Т. О. Т. О. Т. О. Т. О. Т.

А. Г. А. Г. А. Г. А. Г. А. Г. А. Г. А. Г. А. Г. А. Г. А. Г. А. Г. А. Г.

Артур Конан Дойль. Великий Шерлок Холмс расследует дело с профессором Мориарти.

«Густой лондонский туман играл на руку преступнику. Мориарти удалось скрыться от Холмса в кэбе, номер которого сыщик полностью не увидел. Одна цифра трехзначного номера кэба была то ли 1 то ли 7. Две другие остались загадкой.»

Внимание вопрос: С каким количеством кэбменов предстоит встретиться Холмсу, если круг поиска не сузится благодаря дополнительным уликам? (200)

4. Третий остров музыкальный.

Как ни странно, но здесь мы с вами тоже должны провести статистическое исследование. Вслушайтесь в чарующие звуки вальса, но не закружитесь вместе с волнами, а составьте частотную таблицу встречающихся в звучащей мелодии нот.

А пока мы проверяем частотные таблицы, вы будете решать примеры, каждый правильный ответ – это верная буква ключевого слова, которое вы получите в итоге.

5. Четвертый остров племени Мумба-Юмба.

С течением времени наука племени Мумба-Юмба шагнула вперед и словарный запас увеличился. Словом стала считаться любая последовательность, состоящая не более чем из 4-х букв. В алфавите 4 буквы. Сколько слов в словаре Мумба-Юмба?

6. Ура! Мы на острове Сокровищ! Здесь мы будем получать награды за успехи, достигнутые в путешествии (звучит музыка, помощники считают жетоны).

Вручение звезд!

7. Ребята, внимание! Только что получено сообщение: в Орисси подало в отставку правительство. Предстоит формировании нового совета из 7 человек, причем в него могут быть избраны представители 4-х политических партий: желтых, оранжевых, фиолетовых, синих. Сколько различных советов можно составить, если иметь в виду только численное представительство партий?

Эту задачу вы должны решить дома.

Список источников:

1. И.И. Ежов «Элементы комбинаторики», Москва, Наука, 1977г.

2. А.Я. Халамайзер «Комбинаторика», Москва, Просвещение, 1980г.

3. «Математика и программирование. Энциклопедия школьника», Минск, «Харвест» 1996г.

4. М.В. Ткачева «Домашняя математика 7», Москва, Просвещение, 1994г.

5. М.В. Ткачева «Домашняя математика 8», Москва, Просвещение, 1994г.

6. И.А. Крылов «Квартет»

7. Н.В. Гоголь «Мертвые души»

8. А. Конан Дойль «Записки о Шерлоке Холмсе»