Конспект урока «Проценты» по математике

Урок математики на тему

«Проценты»

Пояснительная записка

Разработка программы данного курса обусловлена непродолжительным изучением темы “Проценты” на этапе основной школы, когда учащиеся в силу возрастных особенностей ещё не могут получить полноценные представления о процентах, об их роли в повседневной жизни. На последующих этапах обучения повторного обращения к этой теме не предусматривается. Во многих школьных учебниках можно встретить задачи на проценты, однако в них отсутствует компактное и четкое изложение теории вопроса. Математика на протяжении всей истории человеческой культуры является ключом к познанию окружающего мира, базой научно-технического прогресса и важной компонентой развития личности.

Математические знания и навыки необходимы практически во всех профессиях, прежде всего в тех, которые связаны с естественными науками, техникой, экономикой.

Текстовые задачи включены в КИМы и ЕГЭ, в конкурсные экзамены.

Однако практика показывает, что задачи на проценты вызывают затруднения у школьников и очень многие окончившие школу не имеют прочных навыков обращения с процентами в повседневной жизни.

Понимание процентов и умение производить процентные расчеты необходимы каждому человеку: прикладное значение этой темы велико и затрагивает финансовую, демографическую, экологическую, социологическую и другие стороны нашей жизни.

Предлагаемый курс “Проценты ” демонстрирует учащимся применение математического аппарата к решению повседневных бытовых проблем каждого человека, вопросов рыночной экономики и задач технологии производства.

Данный курс предполагает чёткое изложение теории вопроса, решение типовых задач, задач с практическим содержанием, а именно такие задачи, которые связаны с применением процентных вычислений в повседневной жизни. Предлагаемые задачи различны по уровню сложности: от простых упражнений на применение изученных формул до приёмов расчёта процентов в реальной банковской ситуации.

При постановке и решении задач возникают математические понятия, например прогрессии, степени с произвольным действительным показателем и логарифмы, что даёт учащимся дополнительную возможность понять их глубинную суть.

Предлагаемый курс направлен на то, чтобы вооружить учащихся дополнительными знаниями по процентным вычислениям для использования их не только в учебно-познавательном процессе, но и повседневной жизни – при расчёте выгодности банковской сделки, рентабельности бизнеса, коммерческого предложения.

Тема “Проценты” является универсальной в том смысле, что она связывает между собой многие точные и естественные науки. У учащихся воспитывается чувство удовлетворения от установленной им возможности приложения математики к другим наукам.

Они увидят, что такие, на первый взгляд, “бесполезные” вопросы, как сумма членов геометрической прогрессии, имеют глубокий экономический смысл.

В рамках курса предлагается решение задач, предлагаемых на вступительных экзаменах в различные ВУЗы страны, в КИМах ЕГЭ, на математических олимпиадах.

Данный курс “Проценты на все случаи жизни” будет способствовать не только выработке умений и закреплению навыков решения различных задач, связанных с процентными исчислениями, но и формированию интереса учащихся к математике, способствовать их интеллектуальному развитию. При достаточно полном рассмотрении вопросов курса несомненно появится прогресс в подготовке учащихся, что повышает их возможности в решении задач, а значит и повышается успешность сдачи ЕГЭ.

Единый государственный экзамен по математике – процедура серьёзная, требующая специальной подготовки. Тем более, что математику

сдают в ВУЗах разного профиля (математических, естественнонаучных, технических, экономических, военных, связанных с лингвистикой и т.д.).

С внедрением ЕГЭ, на учителя математики явно или неявно возлагается ещё большая ответственность за сдачу его выпускниками вступительных экзаменов в ВУЗ.

Программа написана для 10 класса информационно-технологического

профиля, социально-экономического профиля. Предмет математики является профильным.

Цели курса:

• повторить и привести в систему сведения о процентах;

• создать основу для расширения сюжетов решаемых задач, сближающих содержание школьного курса с практическим приложением математики как науки;

• способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления, характерных для математической деятельности, развитию практических способностей, необходимых человеку для общей социальной ориентации.

Задачи курса:

• актуализировать ранее изученный и новый материал для обеспечения ученикам достаточно высокого уровня компетентности по этой теме;

• способствовать развитию учащихся в отношении интеллекта, способностей, мотивации навыков самостоятельной деятельности;

• сформировать умения производить процентные вычисления, необходимые для применения в практической деятельности и в задачах из смежных дисциплин;

• помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.

В результате курса учащиеся должны:

• понимать содержательный смысл термина “процент” как специального способа выражения доли величины;

• знать широту применения процентных вычислений в жизни;

• уметь применять формулы “простых” и “сложных” процентов, формулы массовой концентрации вещества, формулы процентного содержания вещества;

• уметь сочетать устные и письменные приёмы вычислений, использовать приёмы, рационализирующие вычисления.

Для достижения целей курса предлагается следующие способы организации деятельности учащихся на различных уроках:

• на уроках-лекциях учащиеся учатся конспектировать, анализировать возникновение новых методов решения задач;

• на уроках-беседах совместными усилиями учителя и учащихся решаются ключевые задачи;

• на уроках-практикумах учащиеся самостоятельно решают задачи, добиваясь тех или иных навыков, анализируют ошибки и пути их исправления;

• на уроках-семинарах учащиеся рассказывают о проделанной работе, скажем, о решении каких-то задач из домашней работы, оценивают решения, оценивают свою деятельность.

Содержание программы

Тема 1.

Что надо знать о процентах. (2ч).

Устраняются проблемы в знаниях по решению основных задач на проценты: что такое проценты, как выразить число в процентах, как выразить проценты в десятичной дроби, нахождение процентов от данного числа, нахождение числа по его процентам, процентное отношение двух чисел.

Тема 2.

Решение задач с помощью уравнений и неравенств. (3ч).

Сюжеты задач взяты из действительности: демография, экология, социологические опросы и т. д.

Тема 3.

Задачи на процентный прирост и вычисление “сложных процентов”. (6ч).

Введение базовых понятий экономики: процент прибыли, стоимость товара, бюджетный дефицит и профицит, изменение тарифов и т. д. Решение задач, связанных с банковскими расчётами.

Тема 4.

Задачи на смеси, сплавы, концентрацию и процентное содержание. (6ч).

Концентрация вещества, процентное содержание вещества – введение соответствующих понятий и формул.

Тема 5.

Проценты на экзаменах. (6ч).

Задачи, предлагаемые в КИМах на ЕГЭ, на вступительных экзаменах на различные факультеты МГУ.

Тема 6.

Олимпиадные задачи. (4ч).

Обобщение полученных знаний при решении задач на проценты. Задачи школьных математических олимпиад. Задачи московских математических олимпиад.

Тема 7.

Что значит жить на проценты. (3ч).

Стратегия ликвидности, стратегия доходности, цепные вклады, государственные краткосрочные облигации.

Тема 8.

Деловая игра “Проценты ”. (4ч).

Для старшеклассников характерна ориентация на свою будущую роль в обществе. Их интересуют политические и социальные явления.

В игре сосредоточены творческие задания.

C её помощью можно моделировать жизненные ситуации и сосредоточивать игровые действия вокруг социальных проблем и отношений между людьми.

Сориентировать учащихся на прикладное применение математических знаний, в неформальной обстановке произвести диагностику качества знаний учащихся по данной теме.

Построение курса позволяет изучать любой из семи модулей, входящих в элективный курс, отдельно, т.е. если ученик пропустил по каким-либо причинам часть курса или в процессе изучения скорректировал уже сделанный выбор, сопоставляя его со своими возможностями.

К примеру, он может отказаться от изучения VI модуля и увеличить практикум в III, IV модулях, что обеспечит индивидуализацию обучения.

Формы контроля

Зачет по итогам освоения модуля, который может проводиться в форме:

• письменной контрольной работе;

• творческой индивидуальной работе

как, например:

“Геометрическая прогрессия и её приложения в экономике” или “Математик-бизнесмен” и т.п.;

• собеседования по оценке результатов, достигнутых учеником (рейтинг);

По окончанию курса готовится и проводится деловая игра.

Содержание курса

“Проценты ”

Разработка урока по теме:

“Задачи на концентрацию и процентное содержание”

Урок является первым в модуле “Задачи на концентрацию и процентное содержание”.

Цели: сформировать умение работать с законами сохранения массы, обеспечить усвоение учащимися понятий концентрации вещества, процентного содержания раствора; обобщить полученные знания при решении задач на проценты.

1. Проверка домашнего задания.

2. Изучение нового материала.

Лекция учителя.

Задачи на концентрацию и процентное содержание – это различные задачи на составление смесей, растворов и сплавов нескольких веществ.

Введем основные понятия и допущения, которые принимаются в задачах подобного рода.

1. Все получающиеся сплавы и смеси однородны.

2. При слиянии двух растворов, имеющих объёмы и получается смесь, объём которой равен , т.е. .

Такое допущение не представляет собой закона физики и не всегда выполняется в действительности, это представляет собой соглашение, принимаемое при решении таких задач. На самом деле при смешении двух растворов не объём, а масса равняется сумме масс составляющих её компонент.

Рассмотрим смесь трёх компонент A, B, C. Объём смеси складывается из объёмов чистых компонент: , а три отношения

; ; .

Показывают, какую долю полного объёма смеси составляют объёмы отдельных компонент.

Отсюда получаем:

; ; .

Отношения объёма чистой компоненты в растворе ко всем объёму смеси называется объёмной концентрацией этой компоненты.

Например: .

Сумма концентраций всех компонент, составляющих смесь, равна единице .

Показывается заранее заполненная схема:

смесь

Объёмным процентным содержанием компоненты называется величина: , т.е. концентрация этого вещества, выраженная в процентах.

Если известно процентное содержание вещества , то его концентрация находится по формуле: .

Так например, если процентное содержание составляет 20%, то соответствующая концентрация этого вещества равна 0,2 и т.д.

Таким же способом определяется массовая концентрация и процентное содержание, а именно как отношение массы чистого вещества в сплаве к массе всего сплава.

О какой концентрации, объёмной или массовой, идёт речь в конкретной задаче, всегда видно из условия.

3. Закрепление полученных знаний. Решение задач.

Процесс усвоения строится с учётом поэтапного усложнения задач.

Задача 1. Cканави. №13.289.

Имеются два сплава, состоящих из цинка, меди, олова. Первый сплав содержит 40% олова, а второй – 26% меди. Процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором будет 30% цинка. Определить сколько килограммов олова содержится в новом сплаве.

Условие задачи в ходе анализа оформляется в таблицу.

Таблицу следует заготовить заранее и заполнять по ходу решения.

Пусть - количество олова, содержащегося в получившемся новом сплаве, тогда – количество цинка, содержащегося в первом сплаве.

.

- цинка во втором сплаве.

Так как процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково, то:

Решая уравнение получаем: .

- олова в первом сплаве.

– олова во втором сплаве.

- меди во втором сплаве.

- цинка во втором сплаве.

Так как второй сплав весит 250 кг, то:

Значит, 170 кг олова содержится в новом сплаве.

Ответ: 170 кг.

Задача 2.

Имеется два куска сплава олова и свинца, содержащие 60% и 40% олова. По сколько граммов от каждого куска надо взять, чтобы получить 600 г сплава, содержащего 45% олова?

Учащиеся решают самостоятельно, один из учеников комментирует решение.

Например.

Пусть – масса куска взятого от первого сплава; - масса куска от второго сплава.

Концентрация олова в первом куске:

.

Концентрация олова во втором куске:

.

Концентрация олова в сплаве:

.

Так как , то составим уравнение:

Значит, от первого куска надо взять 150 г.

- надо взять от второго куска. Ответ: 150 г; 450 г.

IV. Итоги занятия.

По записям на доске повторить формулы, по которым рассчитываются концентрация смеси и сплава.

Задание на дом: сборник задач по математике под редакцией Сканави №13.041 (2балла), №13.045 (2балла), №13.319 (4балла); формулы наизусть.

На следующих уроках проходит углубление и систематизация знаний при решении задач на “смеси” и “сплавы”.