Конспект урока «Решение логарифмических уравнений» по математике для 11 класса

Лоренц Ольга Алексеевна, учитель математики МКОУ СОШ №40 г. Сатка Челябинской области.

Предлагаю учителям, работающим в 11-х классах конспект урока, который я разработала сама. Работа на уроке проводится в группах, на которые делится класс перед уроком. В каждой группе выбирается ученик – консультант. Этот ученик, как правило, один из наиболее успешных. Связь учителя с каждой группой поддерживается именно через консультанта. Таким образом, на уроке используется такая технология обучения, как обучение в сотрудничестве. Ученики совместно работают над поставленной задачей. Общая оценка работы группы складывается из оценки общения учащихся в группе наряду с результатами работы. Каждый член группы, вместе с личной ответственностью за свои успехи, несёт ответственность за успехи своих согруппников. После совместной работы, необходимо обсудить, как она проходила в каждой группе, как оказывалась необходимая помощь, нуждающимся в ней; ученики обсуждают своё поведение; анализируют, что удалось, что нет, и намечают пути совершенствования своего сотрудничества.

На уроке используется проблемно-поисковый метод обучения: перед каждой группой ставится задача и, чтобы её решить, надо определить тип уравнения и выбрать способ его решения. Наряду с систематизацией уже известных знаний, постановка проблемы имеет и элемент творческой деятельности. Ученикам нравятся такие уроки.

Что касается темы «Решение логарифмических уравнений», интерес учащихся к ней проявляется в активности при обсуждении способов решения уравнений. Неплохо усваиваются свойства логарифмов и их применение в решении уравнений. Одна из проблем решения – проверка корней, ученики её просто забывают сделать. Поэтому, первое, с чего необходимо начинать обсуждение, это – ОДЗ.

Надеюсь, мой опыт будет полезен моим коллегам.

План – конспект урока в 11 классе «Обобщение и систематизация знаний учащихся по изучению уравнений, неравенств, методов их решения».

Тема урока: « Решение логарифмических уравнений ».

Цели урока: вспомнить и систематизировать виды логарифмических уравнений, основные способы решений логарифмических уравнений.

Задачи урока: а) обучающая - формирование знаний о свойствах логарифмической

функции и применении их в решении логарифмических уравнений;

итоговая отработка способов и методов их решения;

б) развивающая - развитие навыков самоконтроля при решении заданий;

развитие навыков взаимоконтроля;

в) воспитательная - формирование грамотной устной и письменной

математической речи учащихся, воспитание ответственного отношения

к учебному труду; воспитание чувства коллективизма.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран.

Ход урока:

1. Сообщение целей урока и его плана.

2. а) ответы на вопросы по домашней работе по предыдущей теме(6-7 минут);

б) устная работа по вопросам теории, заданным также на дом:

1. Определение логарифма, натуральный и десятичный логарифмы, примеры;

2. Основное логарифмическое свойство, примеры;

3. Формула логарифма произведения, примеры;

4. Формула логарифма частного, примеры;

5. Формула логарифма степени, примеры;

6. Формула перехода от одного основания логарифма к другому, примеры;

7. Об области определения и монотонности логарифмической функции.

3. Систематизация знаний и умений с использованием заранее заготовленных заданий (30 минут).

Учитель проектирует на экран задание, учащиеся вместе с учителем обсуждают типы уравнений и методы их решений. Затем решают в тетрадях. После чего, учитель проектирует на экран решение и окончательный ответ. В ходе проверки комментируются все применяемые свойства и определения.

Блок№1.

Простейшие уравнения.

а) log (2x² - 2x - 1) = - .

По определению логарифма получаем уравнение 2х² – 2х – 1 = ( )2х² – 2х -1 = 3

х² – х – 2 = 0. Ответ: -1; 2.

б) log₂₅[ log₃(2 – log_0,5 x)] = - .

По определению логарифма получаем уравнение log₃(2 – log_0,5 x) = 25^-0,5log₃(2 – log_0,5x) = 1. Вновь используем определение логарифма: 2 - log_0,5 x = 3¹ , откуда log_0,5 x = - 1

Получаем х = ()^-1 = 2. Ответ: 2.

в) log₃ (x² – 4) = log₃ (4x – 7).

Особенностью логарифмических уравнений является появление посторонних корней. Это связано с расширением ОДЗ уравнения в ходе его преобразования. Поэтому полученные корни необходимо проверять подстановкой.

ОДЗ данного уравнения задаётся неравенствами . Решая эту систему неравенств получаем ОДЗ уравнения х(2; ∞).

Логарифмическое уравнение заменяем ему равносильным: х² – 4х + 3 = 0, которое имеет корни х₁ = 1 и х₂ = 3. После проверки выявляется посторонний корень х = 1. Ответ: 3.

Блок № 2.

Уравнения, решаемые их преобразованиями.

а) 2log₃(x – 2) – log₃(x² – 4x + ) = 2.

ОДЗ: . Сведём данное уравнение к простейшему: log₃(x – 2)² – log₃(x² – 4x + ) = 2 log_3. После преобразований получим квадратное уравнение: х² – 4х + 3 = 0, которое имеет корни

х₁ = 1 и х₂ = 3. После проверки выявляется посторонний корень х = 1. Ответ: 3.

б) log₂ x + log₄ x + log₈ x = 5,5.

Одним из распространённых преобразований является переход к новому основанию в логарифмах: log_cb=.

В логарифмах перейдём к одному основанию, например числу 2.

log₂ x + log₂ x + log₂ x + log₂ x = 5,5 6 log₂ x + 3 log₂ x + 2log₂ x = 33 11∙ log₂ x = 33 log₂ x = 3 x = 2³ = 8. Ответ: 8.

Блок № 3.

Уравнения, решаемые разложением на множители.

Переносим все члены уравнения в левую часть, проводим группировку и раскладываем на множители:

log₂ (3х² – 5) + 2 = log₂ (3х² – 5) + 2,

log₂ (3х² – 5) + 2 - log₂ (3х² – 5) - 2 = 0,

log₂ (3х² – 5) - log₂ (3х² – 5) + (2 - 2) = 0,

(log₂ (3х² – 5) – 2)( - 1) = 0.

Произведение множителей равно нулю, если один из них равен нулю.

Получаем два уравнения, которые надо решать, не забывая об ОДЗ уравнения, а именно

.

1) log₂ (3х² – 5) – 2 = 0 log₂ (3х² – 5) = 2 3х² – 5 = 4 х² = 3 х = .

В ОДЗ входит только х = ;

2) - 1 = 0 х – 1 = 1 х = 2.

Ответ: ; 2.

Блок № 4.

Уравнения, решаемые с помощью замены переменной.

а) log²₂(2x – 1) + log₂(2x -1) – 2 = 0.

Проведём замену у = log₂(2x -1) и получим квадратное уравнение у² + у – 2 = 0. Его корни

. Оба корня входят в ОДЗ уравнения. Ответ: ; .

б) 4 – lg x = 3. Проведём замену lg x = у, тогда данное уравнение примет вид у² + 3у – 4 = 0, корни уравнения у₁ = 1, у₂ = -4(посторонний корень). Следовательно, = 1, откуда х = 10.

Ответ: 10.

Блок № 5.

Уравнения, решаемые с помощью их специфики.

Встречаются задачи, решение которых основано на свойствах входящих в них функций.

log₂x = . Исследуем монотонность функций, входящих в уравнение. Функция у₁ = log₂x – возрастающая, функция у₂ = - убывающая. Корень уравнения – единственный, это точка пересечения графиков этих функций. Корень уравнения подбираем (угадываем).

Ответ: 4.

а) приём логарифмирования:

3х = х, найдём логарифм по основанию 3 от обеих частей данного уравнения и используем свойства логарифмов. Получаем: log₃ (3x) = log₃ (x^logx)

log₃ 3 + log₃ x = log₃ x² ∙ log₃ x 1 + log₃ x = 2log₃²x . Введём новую переменную

у = log₃x и получим квадратное уравнение 1 + у = 2у² 2у² – у – 1 = 0, у₁ = 1, у₂ = - .

Вернёмся к х: . Ответ: 3; .

б) применение основного логарифмического тождества:

3 х+ 2= 64.

Запишем х в виде х = 5=( 2)= 2. Данное уравнение приведётся к виду

3∙ 2+ 2= 64 4 ∙ 2= 64 log₅ x = 4. Ответ: 625.

Блок № 6.

Уравнения, решаемые графически.

Определить число корней и найти меньший из них log_0,5 x = -x² + 2x – 1.

Построим графики функций у₁ = log_0,5 x , у₂ = -(х – 1)². Графики пересекаются в точках А и В. Следовательно, уравнение имеет два корня. Абсцисса точки А меньше абсциссы точки В. Поэтому меньший корень уравнения х = 1. Ответ: 2 корня, меньший из них 1.

4. Подведение итогов урока. Выставление оценок наиболее активным ученикам, консультанты тоже принимают участие в оценке работы членов своей группы.

5. Постановка домашнего задания: на экране – логарифмические уравнения:

№ 1. 2 + 6 log₈ x = log₂ ( 6x + 18).

№ 2. lg (x + 4) + lg (2x + 3) = lg ( 1 – 2x).

№ 3. log₂ x + log₄ x + log₁₆ x = 7.

№ 4. х=.

Ответы: №1 (3); №2 (-1); №3 (16); №4 (1; ; 16).

Необходимо взять несколько заданий из учебника, подойдя к ним дифференцированно. В домашнюю работу можно включить творческие задания, уравнения такого типа как,

а) log₃ x ∙ log₉ x ∙ log₂₇ x ∙ log₈₁ x =;

б) log₂ x + log₄ x + log₈ x = 11;

в) х= 0, 0001;

г) log_х3 + log₃x = log3 + log₃+ 0, 5.

Ответы: а); 9, б)64, в)10^-2; 10^-1; 10; 100, г)2.

Следующий урок по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств» будет посвещён решению логарифмических неравенств. В начале урока проводится проверочная работа на 10-12 минут, в которую можно включить уравнения, которые решаются уже известными методами, использованными на прошлом уроке и при выполнении домашней работы.

Приведу пример одного варианта такой проверочной работы:

№ 1.

Решить уравнение: 2 log_0,5 x = log_0,5 (2x² – x);

№ 2.

Решить уравнение: (х² + х – 2) log(3х – 2) = 0;

№ 3.

Решить уравнение: lоg₄(lоg₃(lоg₂(х² + 7х))) = 0;

№ 4.

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение (х – а) log₂ х = 0 имеет единственное решение.

№ 5.

Выберите наибольшее решение уравнения:

2 log₃² х - 7 log₃ х = - 3.

Дополнительно: log_2x+1(5 + 8x – 4x²) + log_5-2x(1 + 4x + 4x²) = 4.

Ответы: №1 (1); №2 (1); №3 (-8; 1); №4 ( (-∞; 0) );№5 (27);доп.(; 1).

Согласно тематическому планированию на тему «Решение логарифмических уравнений и неравенств» отводится пять уроков, после которых можно провести тематическую контрольную работу по своей структуре похожей на ЕГЭ, что является некоторым этапом подготовки к этому испытанию.

Приведу один вариант такой контрольной работы:

В_1. Упростить выражение 2+ log₅75 - log₅3.

В_2. Указать промежуток, которому принадлежит корень уравнения log₂ (х + 1) = 4.

В₃. Решить неравенство log_0,4(1,9х – 1, 3) ≥ - 1.

В₄. Найти сумму корней уравнения log4x + log₅ (x² + 75) = 1.

B_5. Найти число целых решений неравенства log₂²х - log₂х ≤ 6.

С₁. Пусть (х₀; у₀) – решение системы Найти отношение .

С_2. Решите уравнение lg x² + lg (x + 10)² = 2 lg 11.

C₃. Решите неравенство (х – 1) log+ ≥ 0.

Ответы: В₁.1. В₂.2. В₃.1. В₄.20. В₅.8. С₁.27. С₂

-11; 1; -5 . С₃.(0,5; 1)