Конспект урока «Геометрия окружности» по математике для 9 класса

Время

Деятельность

учителя

учащихся

1. Организационный момент (формирование мотивации работы учащихся)

1 мин

Приветствие учащихся. Объявление темы и постановка цели урока

Записывают в тетради дату и тему урока

2. Устная разминка (актуализация знаний)

Приложение №1

10 мин

Демонстрирует презентацию ученика и проводит фронтальный опрос учащихся по теоретическим вопросам.

Повторяют основные понятия и свойства окружности

3. Закрепление и обобщение (формирование умений и навыков)

1.

2.

3. Из одной точки проведены две касательные к окружности. Точки касания делят окружность на две дуги, относящиеся друг к другу как 1:9. Найдите угол между касательными.

В

А

С

4. Докажите, что диаметр окружности, проведённый через середину хорды

(не являющейся диаметром), перпендикулярен этой хорде.

В

С

E

D

O

А

5. В выпуклом четырехугольнике АВСD диагонали АС и ВD пересекаются в точке О. АВС = 111⁰ , ОВС = 49⁰ , АСD = 62⁰ . Найти углы САD и АDС.

6. В ΔАВС:_А=32⁰ _{и =24}⁰_{. Окружность с центром в точке В проходит через вершину А и сторону АС пересекает в точке М, а сторону ВС- в точке N. Найдите АNМ.}

В

N

А M

С

7. На стороне BA угла ABC , равного 30⁰ , взята такая точка D, что AD = 2 и

BD =1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и касающейся прямой BC.

55 мин

10 мин

5 мин

7 мин

13 мин

20 мин

Контролирует работу учащихся

Контролирует работу учащихся

Контролирует и направляет работу учащихся

3 ученика у доски, остальные решают самостоятельно на местах, а затем проверяют:

Решение:

AE∙BE=CE∙DE DE===20

Ответ: DE=20

Решение: ВАС=ВМС=80⁰ т.к они опираются на одну дугу ВС. ΔВАС-равнобедренный, т.к. АВ=АС АВС= АСВ==50⁰.

АNB=АСВ=50⁰.

Ответ: АNB=50⁰.

Решение:

=1:9. Пусть =Х⁰, тогда =9Х⁰.

Получим уравнение: х+9х=360

10х=360

х=36⁰.

Следовательно, =36⁰,

=9∙36⁰=324⁰.

АBС===144⁰.

Ответ: АBС=144⁰.

1 ученик у доски, остальные решают на местах.

Доказательство. OE – медиана треугольника COD.

Так как OC = OD, треугольник COD равнобедренный. Следовательно, OE является высотой треугольника COD. Поэтому AB CD.

1 ученик у доски, остальные на местах.

Решение: АВО = 111⁰ – 49⁰ = 62⁰.Таким образом В и С лежат по одну сторону от АD и углы АВО и АСD равны, значит точки А, В, С, D лежат на одной окружности. АDС и АВС вписанные, значит их сумма равна 180⁰ , отсюда АDС = 180⁰ – 111⁰ = 69⁰.

Дуга АDС равна 222⁰ . Значит дуга DС равна 222⁰ – 124⁰ = 98⁰ . Угол САD вписанный и равен 49⁰ . Ответ: САD = 49⁰АDС = 69⁰

Решение.

_{АNМ- вписан в окружность и опирается на дугу АМ. Следовательно АNМ=АВМ.}

АBС=180-(32+24)=124⁰.

_{Рассмотрим ΔАВМ, он равнобедренный т.к. АВ=ВМ=R. Значит А=АМВ=32}⁰_{. Тогда АВМ=180-32∙2=116}⁰_{, а он является центральным углом, опирающимся на дугу АМ. Следовательно} АNМ=116:2=58⁰.

1 ученик у доски, остальные работают на местах.

Решение. Центр O искомой окружности принадлежит серединному

перпендикуляру к отрезку AD. Обозначим P середину отрезка AD, Q – основание перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую BC, E – точку пересечения серединного перпендикуляра с прямой BC. Из условия касания окружности и прямой BC следует, что отрезки OA, OD и OQ

равны радиусу R окружности.

Заметим, что точка O не может лежать по ту же сторону от прямой AB, что и точка E, так как в этом случае расстояние от точки O до прямой BC меньше, чем расстояние от нее до точки A.

Из прямоугольного треугольника BPE с катетом BP = 2 и B = 30°

находим, что PE = . Так как OA = R и AP =1, получаем: OP = и, следовательно,

OE =+.

Из прямоугольного треугольника OQE, в котором E = 60°, находим:

R =OQ =OE =+1 .

В результате получаем уравнение для R: =R-1

Возведем в квадрат обе части этого уравнения и приведем подобные члены. Получим уравнение R²– 8R + 7 = 0, решая которое находим два корня R1 = 1, R2 = 7. Если радиус равен 1, то центром окружности является точка Р .

Ответ: 1 или 7.

4. Физ. минутка

Упражнение для позвоночника стоя и для глаз сидя

1 мин

Объясняет и показывает, какие упражнения надо выполнить

Выполняют упражнения

5. Самостоятельная работа

(контроль ЗУН)

1вариант

1)Дуга радиуса 4, измеряющая центральный угол в 120⁰, равна длине некоторой окружности. Найдите радиус этой окружности.

2) Точка М отстоит от центра окружности на расстоянии 4. Через точку М проведена хорда, перпендикулярная диаметру окружности. Найдите длину этой хорды, если радиус окружности равен 5.

3) В окружность радиуса 5 вписан правильный треугольник, в который вписан круг, а в этот круг вписан квадрат. Найдите периметр этого квадрата.

2 вариант

1) Окружность радиуса 2 разогнута в дугу радиуса 5. Найдите получившийся центральный угол.

2) Из точки А вне окружности с центром О проведена касательная. В-точка касания. Найдите длину окружности, если АВ=10 и ОА=26.

3) Биссектриса правильного треугольника равна 21. Чему радиус круга, вписанного в этот треугольник?

20 мин

Контролирует работу учащихся

Выполняют задания на подготовленных листочках

6. Домашнее задание

(заранее написано на доске)

1)В треугольнике АВС проведена высота ВК. Найти длину отрезка, соединяющего точку К с серединой АВ, если АВ = 10см.

2)В трапеции АВСD с основаниями АD и ВС угол АВD равен углу АСD. Доказать, что АВСD – равнобедренная трапеция.

1 мин

Проводит инструктаж

Записывают задание в дневники

Решение:

Проведем высоту АМ, тогда углы АКВ и АМВ равны по 90⁰ , значит точки А, К, М, В лежат на одной окружности и АВ – диаметр. Точка О – середина АС по условию

Следовательно, АО = ОВ = КО = r = 5 см.

Ответ: 5см

Решение:

Точки В и С лежат по одну сторону от АD и углы АВD = АСD, то точки А, В, С,D лежат на окружности. Так как хорды ВС ║ AD , то дуга АВ равна дуге СD. Поскольку равные дуги стягивают равны хорды, то АВ = СD

7. Подведение итогов урока

2 мин

Учитель задаёт вопросы по теме: что повторили и закрепили? чему научились? Что не понятно?

Отвечают на поставленные вопросы