Конспект урока «Решение тригонометрических уравнений» по математике для 11 класса

1. sin x = 0

2. cos x = -1

3. cos 3x = -/2

4. sin 0,5x = 1

5.tg 4х =

После истечения времени ученики меняются тетрадями и проверяют работу соседа. При оценке работы учитывается не только правильность выполнения работы, но и количество выполненных заданий.

Ответ:

1. х =πк, кЄZ

2. х =π + 2πк, кЄZ

3. х = +2π/9 + 2πк/3, кЄZ

4. х = π + 4πк, кЄZ

5. х = π/16 + πк/4, кЄZ

Динамическая пауза.

Самомассаж (по системе М.С. Норбекова)

Аутомануальный комплекс (массаж)

Разогреть ладони энергичным потиранием. Указательными пальцами осуществлять вкручивающие движения по часовой и против часовой стрелке – 6-8 раз в каждую сторону.
• Точка на лбу между бровями.
• По краям крыльев носа.
• В среднюю линию между нижней губой и верхним краем подбородка.
• В височной ямке (парные).
• Чуть выше роста волос под основанием черепа.

Массаж ушных раковин

Каждое упражнение выполнять 6 – 8 раз.
• Потягивание ушных раковин сверху вниз.
• Потягивание ушных раковин снизу вверх.
• Потягивание ушных раковин назад.
• • Потягивание ушных раковин в стороны.
• Круговые движения по часовой стрелке.
• Круговые движения против часовой стрелке.
Разогреть ушные раковины, чтобы они «горели» с умеренной силой.

Гимнастика для глаз

Каждое упражнение выполнять 6 – 8 раз.
• Движение глаз по горизонтальной линии вправо-влево.
• Движение глаз по вертикальной линии вверх-вниз.
• Круговые движения открытыми глазами по часовой и против часовой стрелке.
• Сведение глаз к переносице, затем смотреть в даль.
• Сведение глаз к кончику носа, затем смотреть в даль.
• Сведение глаз ко лбу, затем смотреть в даль.
• Упражнение на аккомодацию.
• Положить ладони на закрытые глаза, сделать резкий глубокий вдох через нос, затем выполняем медленный выдох через рот, через 20-30 секунд убираем ладони и открываем глаза.

Упражнения для шейного отдела позвоночника

Каждое упражнение выполнять 6 – 8 раз.
• Скольжение подбородком по грудине вниз.
• «Черепаха»: наклоны головы вперёд-назад.
• Наклоны головы вправо-влево.
• «Собачка»: вращение головы вокруг воображаемой оси, проходящей через нос и затылок.
• «Сова»: поворот головы вправо-влево.
• «Тыква»: круговые движения головой в одну и другую сторону.

Упражнения для верхнего грудного отдела позвоночника

Каждое упражнение выполняем 6 – 8 раз.
• «Нахмурившийся ёжик»: плечи вперёд, подбородок к груди; плечи назад, голову назад.
• «Весы»: левое плечо вверх, правое вниз. Поменять положение рук.
• Поднимание и опускание плеч вверх и вниз.
• Круговые движения плечами вперёд и назад.
• «Пружина»: вытягивание позвоночника, сжимание позвоночника.
• Скрутка позвоночника: поворот плеч вправо-влево

Великий физик, математик и политик А. Эйнштейн заметил: «Мне приходиться делить время между политикой и уравнениями. Однако, уравнения гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».

Если вы знаете свойства тригонометрических функций, их значения, формулы тригонометрии, то с решением не будет никаких трудностей.

Решение более сложных тригонометрических уравнений состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Какие методы преобразования вам известны?

• Решение уравнений методом разложения на множители.

• Приведение данного уравнения к квадратному относительно одной тригонометрической функции с последующей заменой переменной и подстановкой. Алгебраический метод.

• Решение однородных уравнений первой и второй степени. Уравнение называется однородным относительно  sin  и  cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin  и cos  одного и того же угла.

Рассмотрим каждый из перечисленных методов на примерах.

1) Решить уравнение: 2 sin x · cos 5x – cos 5x = 0.

Решение:

сos5 x (2sin x – 1) = 0 ,

1) sin x = 1/2 , 2) cos 5x = 0 ,

х = (-1)^kπ/6 +πk, k Є Z. х = π/10 + πn/5, nЄZ

2) Решить уравнение: 2 cos²x + 3 sin x = 0.
Решение:

т. к. cos²x = 1 - sin²x,

2(1 - sin²x) - 3 sin x = 0,

2 sin²x - 3 sin x - 2 = 0.
sin x = t, t = -1/2, t = 2

sin x =-1/2 или sin x = 2-решений не имеет

х = (-1)^k arcsin(-1/2)+πk

x = (-1)^k+1π/6 +πk, k Є Z.

3) Решение однородных уравнений первой и второй степени.

Однородными называются уравнения вида a·sinx+b·cosx = 0 - первой степени,
a·sinx+ b·sinx·cosx+c·cosx = 0 - второй степени и т.д., где a, b, c - числа.
Однородные уравнения любой степени решаются делением на подходящую степень cosx или sinx.

Решить уравнение: sin x - cos x = 0. 

Решение: sin x - cos x = 0, разделим обе части уравнения на  cos x

tg x - = 0

tg x =

х = π/3 + πn, nЄZ

Выберите среди данных уравнений однородное

уравнение первой степени и решите его:

1. сos x – sin 3x = 0; 2) cos x – 3sin x = 0;

3) cos x – 3sin x = 2; 4) cos² x – 3sin x = 0.

cos x – 3sin x = 0 Ответ: arctg + πn, nZ

1 уровень

Самостоятельная работа.

Решить уравнения:

1.8 cos²x – 6 cos x – 5 = 0.

2. sin²x + sinx = 0.
3. sinx – cosx = 0.

4. sinx + cosx = .

2 уровень

Вы освоили решение уравнений 2 уровня сложности. Целью дальнейшей вашей работы является применение своих знаний и умений в более сложных ситуациях.

Достаточно часто в задачах на решение тригонометрических уравнений и систем требуется указать не общее решение, демонстрирующее бесконечное семейство корней, а выбрать только несколько из них, которые лежат в определенном диапазоне значений.

На этом основаны решения заданий ЕГЭ типа С1

а)

б)

Подведем итог урока.

Мне хочется еще раз обратиться к словам Конфуция. Сегодня нам пришлось и размышлять, и подражать, и применять свой опыт при преобразовании тригонометрических выражений. И все эти пути, действительно, ведут к новым знаниям.

Итак, мы повторили основные методы решения тригонометрических уравнений. Дома необходимо решить уравнения, разделяя их по методам решения.

Решите уравнения:

1. 5sin²x + 6cosx - 6 = 0

2. 2tg²x + 3tgx - 2 = 0

3. 4sin²x - 1 = 0

4. cos²x + cosx·sinx = 0

5. tg x + 3 = 3/cos²x

6. sin2x + sin²x = 4cos²x

Вопрос классу: «Оцените своё самочувствие на уроке, поставив какой-либо значок на графике функции у = sin х, изображенной на доске. Где вы себя ощущали: на гребне волны синусоиды или во впадине?

Хочется закончить урок словами Я.А.Коменского: “ Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию ”.