Конспект урока «Рациональные выражения» по математике

Тема: Рациональные выражения

Урок: Тождества

Тип урока: Изучение нового материала

Номер урока в разделе «Уравнения и системы уравнений»: 3

Цели урока

Образовательные:

• ознакомить и первично закрепить понятия «тождественно равные выражения», «тождество», «тождественные преобразования»;

• рассмотреть способы доказательства тождеств, способствовать выработке навыков доказательства тождеств;

• проверить усвоение учащимися пройденного материала, сформировывать умения применения изученного для восприятия нового.

Развивающая: развивать мышление, речь учащихся.

Воспитательная: воспитывать трудолюбие, аккуратность, правильность записи решения упражнений.

Тип урока: изучение нового материала

Оборудование: проектор, презентация, доска, учебник, рабочая тетрадь.

План урока

• Организационный момент (нацелить учащихся на урок)

• Проверка домашнего задания (коррекция ошибок)

• Изучение нового материала (Ознакомление и первичное закрепление понятий «тождество», «тождественные преобразования»).

• Тренировочные упражнения (Формирование понятий «тождество», «тождественные преобразования»).

• Подведение итогов урока (Обобщить теоретические сведения, полученные на уроке).

• Сообщение домашнего задания (Разъяснить содержание домашнего задания)

Ход урока

I. Организационный момент.

  Проверка домашнего задания.

II. На данном уроке мы сформируем понятие и дадим определение тождества, сформулируем его отличия от уравнения. Кроме того, мы научимся определять допустимые значения переменных. Мы решим различные примеры, связанные с тождествами и тождественными преобразованиями.

1. Формулировка понятия тождества

Рассмотрим примеры.

Пример 1:

;

Данное уравнение мы решали методом выделения полного квадрата и получили корни х = 7 или х = 3

Пример 2:

;

Данное уравнение мы также решали методом выделения полного квадрата и получили ответ х = 3 или х = -1.

Это означает, что в случае примера 1 только при х = 7 или х = 3 уравнение превращалось в верное числовое равенство, для второго примера только при х = 3 или х = -1уравнение превращалось в верное числовое равенство.

 Повторим ход решения примера 1. После преобразований мы получили уравнение (х - 3)(х - 7) = 0, из которого явно видно, что х = 7 и х = 3 являются решениями данного уравнения.

Уравнение из примера 2 раскладывалось так: (х - 3)(х + 1) = 0 и отсюда тоже явно следует ответ.

Для нас важно то, что приведенные выше выражения справедливы каждое только для своей пары значений переменной и эти значения имеют название корни уравнения.

 Но существуют такие выражения, которые справедливы при любых значениях переменных, которые в них входят. Рассмотрим примеры:

Пример 3:

;

Подставив в выражение любые значения а и b, мы получим верное числовое равенство.

Пример 4:

;

Формула квадрата разности утверждает, что данное выражение справедливо при любых значениях х.

Выражения из примеров 3 и 4 мы будем называть тождествами. Подобных примеров можно привести очень много:

Пример 5:

;

Данное выражение также справедливо при любых значениях переменных

В этом и заключается принципиальное отличие уравнения от тождества. Тождество – это такое равенство, которое верно при любых значениях переменных, которые в него входят, уравнение же справедливо только при некоторых значениях переменных.

Уточним, что значит любые значения переменных. Рассмотрим элементарное равенство:

х = х;

какое бы значение х не принимал, равенство будет справедливым.

Разделим обе стороны на х - 1

Данное выражение будет справедливо при любых х, кроме х - 1, потому что в знаменателе обеих дробей стоит двучлен х - 1, и эти дроби определены, то есть их можно вычислить, только если знаменатель не равен нулю: х -1 ≠ 0, то есть х ≠ 1.

Пример 6:

Данное выражение является тождеством, так как оно справедливо во всех случаях кроме тех, когда знаменатель равен нулю. То есть, оно справедливо при всех х, кроме х= -3, так как в этом случае дробь не имеет смысла.

2. Решение простых примеров

Итак, появились значения переменных, при которых даже само выражение не имеет смысла, в связи с этим скорректируем определение тождества: тождество это выражение, обращающееся в верное равенство при всех допустимых значениях переменных, которые в него входят.

Рассмотрим задачи.

Пример 7 – доказать тождество:

;

Мы уже встречались с подобными примерами, говорили, что (-t)²= (t)².

Теперь докажем, что выражение под квадратом можно умножить на минус единицу и получится верное равенство. Для этого в заданном выражении раскроем скобки:

;

Мы знаем, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется, таким образом, тождество доказано.

Но его можно доказать и другим способом:

;

Пример 8:

;

Преобразуем левую часть:

;

После преобразований получаем:

;

Тождество доказано.

Заметим, что тождественные преобразования – это те преобразования, при которых одно выражение заменяется другим, тождественно ему равным.

Пример 9:

;

Есть два способа решения данной задачи. Первый – это напрямую в левой части раскрыть квадрат, выполнить умножение одночлена на двучлен, привести подобные члены и посмотреть, окажется ли выражение тождеством или нет.

Второй способ – преобразовать левую часть при помощи метода вынесения общего множителя:

;

Теперь мы видим, что левая часть – это разность квадратов. Преобразует ее:

;

Получаем выражение:

;

Тождество доказано.

Пример 10 – доказать, что если А = 2х – 1, В = 3х + 1, С = 5х , то выражения А + В + С  и С – В - А тождественно равны при любых значениях х.

Рассмотри два заданных выражения. В первом А + В стоят с плюсом, а С с минусом, во втором наоборот С стоит с плюсом, а А + В стоят с минусом, значит первое выражение равно второму, взятому с противоположным знаком. То есть имеем некоторое выражение а:

, , , 

подставим значения A, B и С в заданное выражение:

;

Упростим выражение:

;

Приведем подобные члены:

;

;

Тождество доказано.

3. Решение примеров с определением допустимых значений переменных

Пример 11 – установите, является ли данное равенство тождеством и если да, то укажите допустимые значения переменных:

Начнем с определения допустимых значений х:

х² – 2х ≠ 0, х(х - 2) ≠ 0, х ≠ 0 и х ≠ 2;

Получили, что все значения х, кроме х = 0 и х = 2 являются допустимыми, так как в этих двух точках знаменатель обращается в ноль и дробь не имеет смысла.

Теперь нужно упростить выражение в левой части. Это алгебраическая дробь и мы знаем, что нужно разложить на множители входящие в нее многочлены и сократить. В числителе применим формулу разности квадратов, а знаменатель оставим:

Получаем:

;

Данное выражение является тождеством при всех значениях х, кроме х=0 и х=2.

Пример 12 - установите, является ли данное равенство тождеством и если да, то укажите допустимые значения переменных:

Левая часть является алгебраической дробью, многочлены в числителе и знаменателе нужно разложить на множители:

Мы видим в числителе и знаменателе одинаковые выражения, которые можно сократить, но обязательно при этом нужно указывать допустимые значения:

Получаем:

Выражение является тождеством для всех значений, кроме: a =0; a = 3;b = 0.

4. Доказательство более сложных тождеств

Пример 13 – доказать тождество:

 Пример 14 – доказать тождество:

Сначала упростим дробь:

Приведем подобные в левой части:

Свернем полный квадрат по формуле:

5. Выводы по уроку

Вывод: в данном уроке мы ознакомились с понятием тождества, дали его определение, научились определять допустимые значения переменных. Мы решили много примеров различной сложности и научились доказывать тождества, преобразуя только одну часть выражения или сразу обе.

Список рекомендованной литературы

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ 

3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

Рекомендованное домашнее задание:

Задание 1 – доказать тождество: а) ; б) ; в) ; г)  

Задание 2 – доказать тождество: а) ; б) ; в); г) ;

Задание 3 – доказать тождество и указать допустимые значения переменных:

а) ; б)